第1問 三角関数・2次方程式の解答・解説

$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ なので、$s=\sin \theta$ とおくと方程式は

である。$\theta$ が実数全体を動くとき $s=\sin \theta$ は $-1\le s\le 1$ をくまなく動き、逆に $-1\le s\le 1$ のどの値も $\sin \theta$ として実現できる。よって

である。

そこで $a$ を固定し、$g\left(s\right)=-2s^2-as+1$ の $-1\le s\le 1$ での値域を求める。$g$ は連続なので値域は閉区間 $\left[\min g,\max g\right]$ であり、求める条件は $\min g\le b\le \max g$ である。

$g$ は上に凸の2次関数で

なので、軸は $s=-\frac{a}{4}$、頂点の値は $\frac{a^2}{8}+1$ である。両端では

である。

最大。軸が区間に入る条件は $-1\le -\frac{a}{4}\le 1$、すなわち $\left|a\right|\le 4$ である。

1. $\left|a\right|\le 4$ のとき：$\max g=\frac{a^2}{8}+1$
2. $a>4$ のとき：軸が $-1$ より左なので $g$ は区間で減少し、$\max g=g\left(-1\right)=a-1$
3. $a<-4$ のとき：軸が $1$ より右なので $g$ は区間で増加し、$\max g=g\left(1\right)=-a-1$

$a>4$ と $a<-4$ をまとめると $\max g=\left|a\right|-1$ である。

最小。上に凸なので最小は必ず両端のどちらかで、

である（軸の位置によらない）。

まとめると、求める存在範囲は

である（境界を含む）。$\left|a\right|=4$ では $\frac{a^2}{8}+1=3=\left|a\right|-1$ でつながっている。

上の境界が放物線から直線に切り替わる $\left|a\right|=4$ は、「頂点がちょうど区間の端 $s=\mp 1$ に来る」ところである。放物線 $b=\frac{a^2}{8}+1$ の $a=4$ での接線の傾きは $\frac{a}{4}=1$ なので、直線 $b=a-1$ と接線がそろい、境界はとがらずになめらかにつながる。