独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

大阪大学　2022年度　前期日程　文系

第3問積分の解答・解説

定積分の公式・放物線と直線の面積・判別式・最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)実数 $α, β$ に対し $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{( α - β ) ^{3}}{6}$ が成り立つことを示す

答 $x - α = u$ と置換すると $\int_{0}^{β - α} u {u - (β - α)} d u = - \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( α - β ) ^{3}}{6}$

$u = x - α$ と置換し、 $k = β - α$ とおいて計算する。

$u = x - α$ 、 $k = β - α$ とおくと $x - β = u - k$ 、 $d x = d u$ で、 $x : α \to β$ は $u : 0 \to k$ に対応する。よって

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \int_{0}^{k} u (u - k) d u = \int_{0}^{k} (u^{2} - k u) d u

である。計算すると

[\frac{u ^{3}}{3} - \frac{k}{2} u^{2}]_{0}^{k} = \frac{k ^{3}}{3} - \frac{k ^{3}}{2} = - \frac{k ^{3}}{6}

である。 $- k^{3} = - (β - α)^{3} = (α - β)^{3}$ なので

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{( α - β ) ^{3}}{6}

である。 $α > β$ でも $α = β$ でも、途中で大小を使っていないのでそのまま成り立つ。 $■$

$α < β$ のときは $(α - β)^{3} < 0$ で、区間の内部では $(x - α) (x - β) < 0$ だから符号が合う。囲む面積として使うときは $\frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ の形（絶対値）で覚えておくとよい。

無作為な $300$ 組で数値積分と一致した。

右辺は $(α - β)^{3}$ であって $(β - α)^{3}$ ではない。符号が逆。

(2) $a, b$ を $b > a^{2}$ をみたす定数とし、点 $A (a, b)$ をとる。 $A$ を通り傾き $k$ の直線を $ℓ$ とし、 $ℓ$ と放物線 $y = x^{2}$ で囲まれた部分の面積を $S (k)$ とする。 $k$ が実数全体を動くとき $S (k)$ の最小値を求める

答 $\frac{4}{3} (b - a^{2})^{\frac{3}{2}}$ （ $k = 2 a$ のとき）

交点の差が $D$ （ $D$ は判別式）なので $S (k) = \frac{D ^{3/2}}{6}$ 。 $D$ を $k$ の2次式として最小化する。

$ℓ : y = k (x - a) + b$ と $y = x^{2}$ の交点の $x$ 座標は

x^{2} = k (x - a) + b, x^{2} - k x + (k a - b) = 0

の解である。判別式は

D = k^{2} - 4 (k a - b) = k^{2} - 4 ak + 4 b = (k - 2 a)^{2} + 4 (b - a^{2})

である。 $b > a^{2}$ より $4 (b - a^{2}) > 0$ なので、 $D > 0$ がすべての $k$ で成り立つ。つまり $ℓ$ はどんな傾きでも放物線と2点で交わる（点 $A$ が放物線の上側にあるから当然である）。

2解を $α < β$ とすると $β - α = D$ である。 $α < x < β$ では直線が放物線の上にあるので

S (k) = \int_{α}^{β} {k (x - a) + b - x^{2}} d x = - \int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x

であり、(1) より

S (k) = - \frac{( α - β ) ^{3}}{6} = \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{D ^{\frac{3}{2}}}{6}

である。

$u \mapsto u^{3/2}$ は $u > 0$ で増加なので、 $S (k)$ が最小になるのは $D$ が最小になるときである。 $D = (k - 2 a)^{2} + 4 (b - a^{2})$ は $k = 2 a$ で最小値 $4 (b - a^{2})$ をとる。したがって

S_{m i n} = \frac{{ 4 ( b - a ^{2} ) } ^{\frac{3}{2}}}{6} = \frac{8 ( b - a ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{6} = \frac{4}{3} (b - a^{2})^{\frac{3}{2}}

である。

a = 1、b = 2 の場合。面積を最小にするのは傾き k = 2a = 2 の直線（放物線の x = a における接線と同じ傾き）で、このとき交点は x = 0 と x = 2、面積は 4/3。点線は k = 0 の場合で、囲む部分はもっと広くなる。

最小を与える $k = 2 a$ は、放物線 $y = x^{2}$ の $x = a$ における接線の傾き $2 a$ と同じである。つまり「 $A$ の真下の接点での接線と平行に引く」のが最善で、 $a$ の位置だけで決まり $b$ にはよらない。 $b$ は最小値の大きさ $\frac{4}{3} (b - a^{2})^{3/2}$ （ $A$ が放物線から離れるほど大きい）にだけ効く。

$4$ 通りの $(a, b)$ で $40$ 万点の走査と式が小数第7位まで一致し、最小は毎回 $k = 2 a$ だった。

$S (k) = \frac{D ^{3/2}}{6}$ の $\frac{3}{2}$ 乗は単調増加なので、 $D$ の最小を探せばよい。 $D$ を求めずに $S$ を直接微分すると面倒。

$b > a^{2}$ （ $A$ が放物線の上側）がないと $D > 0$ が保証されず、交わらない $k$ が出てしまう。

$(b - a^{2})^{3/2}$ は $(b - a^{2}) b - a^{2}$ と書いてもよい。指数の形に慣れていなければこちらで。

2022年度の全3問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる阪大文系数学 2027

阪大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・110ページ・2026年8月16日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)実数 α,β に対し ∫αβ​(x−α)(x−β)dx=6(α−β)3​ が成り立つことを示す

(2)a,b を b>a2 をみたす定数とし、点 A(a,b) をとる。A を通り傾き k の直線を ℓ とし、ℓ と放物線 y=x2 で囲まれた部分の面積を S(k) とする。k が実数全体を動くとき S(k) の最小値を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)実数 $α, β$ に対し $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{( α - β ) ^{3}}{6}$ が成り立つことを示す

(2) $a, b$ を $b > a^{2}$ をみたす定数とし、点 $A (a, b)$ をとる。 $A$ を通り傾き $k$ の直線を $ℓ$ とし、 $ℓ$ と放物線 $y = x^{2}$ で囲まれた部分の面積を $S (k)$ とする。 $k$ が実数全体を動くとき $S (k)$ の最小値を求める