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大阪大学　2022年度　前期日程　文系

第1問ベクトルの解答・解説

内分点・交点の位置ベクトル・係数比較・余弦定理当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1)三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $M$ 、辺 $AC$ を $1 : 2$ に内分する点を $N$ とし、線分 $BN$ と線分 $CM$ の交点を $P$ とする。 $AP$ を $AB$ と $AC$ で表す

答 $AP = \frac{4}{7} AB + \frac{1}{7} AC$

$P$ を $BN$ 上・ $CM$ 上の2通りで表し、 $AB, AC$ の係数を比べる。

$b = AB$ 、 $c = AC$ とおく。三角形なので $b, c$ は1次独立である。内分点は

AM = \frac{2}{3} b, AN = \frac{1}{3} c

である（ $AM : MB = 2 : 1$ 、 $AN : NC = 1 : 2$ ）。

$P$ は線分 $BN$ 上にあるので、実数 $s$ （ $0 \leq s \leq 1$ ）を使って

AP = (1 - s) b + s \cdot \frac{1}{3} c = (1 - s) b + \frac{s}{3} c

と書ける。同時に $P$ は線分 $CM$ 上にもあるので、実数 $t$ を使って

AP = t \cdot \frac{2}{3} b + (1 - t) c = \frac{2 t}{3} b + (1 - t) c

と書ける。1次独立性から係数を比べて

⎩ ⎨ ⎧ 1 - s = \frac{2 t}{3} \frac{s}{3} = 1 - t

である。第2式から $s = 3 (1 - t)$ 、これを第1式に入れると

1 - 3 + 3 t = \frac{2 t}{3}, 9 t - 6 = 2 t, t = \frac{6}{7}

であり、 $s = 3 (1 - \frac{6}{7}) = \frac{3}{7}$ である。よって

AP = (1 - \frac{3}{7}) b + \frac{3/7}{3} c = \frac{4}{7} AB + \frac{1}{7} AC

である（ $s = \frac{3}{7}$ 、 $t = \frac{6}{7}$ はどちらも $0$ と $1$ のあいだなので、 $P$ はたしかに線分の上にある）。

A(0, 0)、B(4, 0)、C(1, 3) の場合。M は AB を 2 : 1 に、N は AC を 1 : 2 に内分する点で、BN と CM の交点が P。AP = (4AB + AC)/7 なので、P は AB 寄りに来る。

$2$ 万個の三角形で座標から求めた $P$ と式が一致した。

$2 : 1$ に内分する点は $\frac{2}{3}$ の位置、 $1 : 2$ に内分する点は $\frac{1}{3}$ の位置。片方だけ取り違えると答えが $\frac{1}{7} b + \frac{4}{7} c$ のように入れかわる。

「三角形」という条件から $b, c$ の1次独立が言える。これがないと係数比較ができない。

(2)辺 $BC, CA, AB$ の長さをそれぞれ $a, b, c$ とするとき、線分 $AP$ の長さを $a, b, c$ で表す

答 $AP = \frac{5 b ^{2} + 20 c ^{2} - 4 a ^{2}}{7}$

$AP^{2}$ を展開し、 $AB \cdot AC$ を余弦定理で $a, b, c$ に直す。

(1) の式を2乗すると

AP^{2} = \frac{1}{49} (16 b^{2} + 8 b \cdot c + ∣ c ∣^{2})

である。 $b = AB = c$ 、 $∣ c ∣ = AC = b$ である（文字の対応がねじれているので注意）。また $c - b = BC = a$ から

a^{2} = ∣ c ∣^{2} - 2 b \cdot c + b^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c

すなわち

b \cdot c = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2}

である（これは余弦定理そのもの）。代入すると

49 AP^{2} = 16 c^{2} + 4 (b^{2} + c^{2} - a^{2}) + b^{2} = 5 b^{2} + 20 c^{2} - 4 a^{2}

である。よって

AP = \frac{5 b ^{2} + 20 c ^{2} - 4 a ^{2}}{7}

である。

中身が正であることは、三角形の成立条件から出る。実際 $5 b^{2} + 20 c^{2} - 4 a^{2}$ は $49 AP^{2}$ そのものなので、 $P$ が存在する以上つねに正である。たとえば正三角形（ $a = b = c$ ）なら $21 a /7 = \frac{21}{7} a$ である。

$2$ 万個の三角形で、座標から測った $AP$ と式が一致した。

$AB = c$ 、 $AC = b$ である。 $b = b$ と書きたくなるが逆。文字のねじれで係数 $5$ と $20$ が入れかわりやすい。

$b \cdot c$ を $b c cos A$ のまま残さず、余弦定理で $a, b, c$ だけの式に直す。

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問題文について

(1)三角形 ABC において、辺 AB を 2:1 に内分する点を M、辺 AC を 1:2 に内分する点を N とし、線分 BN と線分 CM の交点を P とする。AP を AB と AC で表す

(2)辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とするとき、線分 AP の長さを a,b,c で表す

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