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大阪大学　2022年度　前期日程　文系

阪大文系 2022年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　ベクトル

内分点・交点の位置ベクトル・係数比較・余弦定理当サイトの体感難易度：標準

(1)三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $M$ 、辺 $AC$ を $1 : 2$ に内分する点を $N$ とし、線分 $BN$ と線分 $CM$ の交点を $P$ とする。 $AP$ を $AB$ と $AC$ で表す

答 $AP = \frac{4}{7} AB + \frac{1}{7} AC$

$P$ を $BN$ 上・ $CM$ 上の2通りで表し、 $AB, AC$ の係数を比べる。

$b = AB$ 、 $c = AC$ とおく。三角形なので $b, c$ は1次独立である。内分点は

AM = \frac{2}{3} b, AN = \frac{1}{3} c

である（ $AM : MB = 2 : 1$ 、 $AN : NC = 1 : 2$ ）。

$P$ は線分 $BN$ 上にあるので、実数 $s$ （ $0 \leq s \leq 1$ ）を使って

AP = (1 - s) b + s \cdot \frac{1}{3} c = (1 - s) b + \frac{s}{3} c

と書ける。同時に $P$ は線分 $CM$ 上にもあるので、実数 $t$ を使って

AP = t \cdot \frac{2}{3} b + (1 - t) c = \frac{2 t}{3} b + (1 - t) c

と書ける。1次独立性から係数を比べて

⎩ ⎨ ⎧ 1 - s = \frac{2 t}{3} \frac{s}{3} = 1 - t

である。第2式から $s = 3 (1 - t)$ 、これを第1式に入れると

1 - 3 + 3 t = \frac{2 t}{3}, 9 t - 6 = 2 t, t = \frac{6}{7}

であり、 $s = 3 (1 - \frac{6}{7}) = \frac{3}{7}$ である。よって

AP = (1 - \frac{3}{7}) b + \frac{3/7}{3} c = \frac{4}{7} AB + \frac{1}{7} AC

である（ $s = \frac{3}{7}$ 、 $t = \frac{6}{7}$ はどちらも $0$ と $1$ のあいだなので、 $P$ はたしかに線分の上にある）。

A(0, 0)、B(4, 0)、C(1, 3) の場合。M は AB を 2 : 1 に、N は AC を 1 : 2 に内分する点で、BN と CM の交点が P。AP = (4AB + AC)/7 なので、P は AB 寄りに来る。

$2$ 万個の三角形で座標から求めた $P$ と式が一致した。

$2 : 1$ に内分する点は $\frac{2}{3}$ の位置、 $1 : 2$ に内分する点は $\frac{1}{3}$ の位置。片方だけ取り違えると答えが $\frac{1}{7} b + \frac{4}{7} c$ のように入れかわる。

「三角形」という条件から $b, c$ の1次独立が言える。これがないと係数比較ができない。

(2)辺 $BC, CA, AB$ の長さをそれぞれ $a, b, c$ とするとき、線分 $AP$ の長さを $a, b, c$ で表す

答 $AP = \frac{5 b ^{2} + 20 c ^{2} - 4 a ^{2}}{7}$

$AP^{2}$ を展開し、 $AB \cdot AC$ を余弦定理で $a, b, c$ に直す。

(1) の式を2乗すると

AP^{2} = \frac{1}{49} (16 b^{2} + 8 b \cdot c + ∣ c ∣^{2})

である。 $b = AB = c$ 、 $∣ c ∣ = AC = b$ である（文字の対応がねじれているので注意）。また $c - b = BC = a$ から

a^{2} = ∣ c ∣^{2} - 2 b \cdot c + b^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c

すなわち

b \cdot c = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2}

である（これは余弦定理そのもの）。代入すると

49 AP^{2} = 16 c^{2} + 4 (b^{2} + c^{2} - a^{2}) + b^{2} = 5 b^{2} + 20 c^{2} - 4 a^{2}

である。よって

AP = \frac{5 b ^{2} + 20 c ^{2} - 4 a ^{2}}{7}

である。

中身が正であることは、三角形の成立条件から出る。実際 $5 b^{2} + 20 c^{2} - 4 a^{2}$ は $49 AP^{2}$ そのものなので、 $P$ が存在する以上つねに正である。たとえば正三角形（ $a = b = c$ ）なら $21 a /7 = \frac{21}{7} a$ である。

$2$ 万個の三角形で、座標から測った $AP$ と式が一致した。

$AB = c$ 、 $AC = b$ である。 $b = b$ と書きたくなるが逆。文字のねじれで係数 $5$ と $20$ が入れかわりやすい。

$b \cdot c$ を $b c cos A$ のまま残さず、余弦定理で $a, b, c$ だけの式に直す。

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第2問　確率・整数

最小公倍数と最大公約数・余事象・素数・確率の計算当サイトの体感難易度：やや難

(1) $n$ を $2$ 以上の自然数とし、1個のさいころを $n$ 回投げて出る目の数を順に $X_{1}, \dots, X_{n}$ とする。最小公倍数を $L_{n}$ 、最大公約数を $G_{n}$ とする。 $L_{2} = 5$ となる確率および $G_{2} = 5$ となる確率を求める

答 $P (L_{2} = 5) = \frac{1}{12}$ 、 $P (G_{2} = 5) = \frac{1}{36}$

$L = 5$ は「2つとも $5$ の約数で、少なくとも一方が $5$ 」、 $G = 5$ は「2つとも $5$ の倍数」。

$1$ から $6$ までの目のうち、 $5$ の約数は $1$ と $5$ 、 $5$ の倍数は $5$ だけである。

$L_{2} = 5$ 。最小公倍数が $5$ になるのは、 $X_{1}, X_{2}$ がともに $5$ の約数（ $1$ または $5$ ）で、かつ少なくとも一方が $5$ のときである（両方 $1$ なら $L_{2} = 1$ ）。あてはまる組は

(1, 5), (5, 1), (5, 5)

の3通りなので

P (L_{2} = 5) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

である。

$G_{2} = 5$ 。最大公約数が $5$ になるには $X_{1}, X_{2}$ がともに $5$ の倍数でなければならず、 $1$ から $6$ では $5$ しかない。 $(5, 5)$ の1通りで、実際 $G_{2} = 5$ である。よって

P (G_{2} = 5) = \frac{1}{36}

である。

$n = 2$ の全 $36$ 通りの列挙でも $\frac{1}{12}$ と $\frac{1}{36}$ だった。

$L_{2} = 5$ で「両方 $1$ 」を除くのを忘れない。 $(1, 1)$ は $L_{2} = 1$ である。

(2) $L_{n}$ が素数でない確率を求める

答 $1 - \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{6 ^{n}} = 1 - \frac{1}{3 ^{n - 1}} + \frac{3}{6 ^{n}}$

余事象。 $L_{n} = p$ （素数）は「すべての目が $1$ か $p$ 、かつ少なくとも1つが $p$ 」。

$L_{n}$ が素数 $p$ になる場合を数える。 $L_{n} = p$ なら、すべての $X_{i}$ は $p$ の約数なので $X_{i} \in {1, p}$ である。逆に全部が $1$ だと $L_{n} = 1$ なので、少なくとも1つが $p$ でなければならない。

$1$ から $6$ までの素数は $2, 3, 5$ の3つである。素数 $p$ を1つ決めると、 $X_{i} \in {1, p}$ の選び方は $2^{n}$ 通り、そのうち全部 $1$ の $1$ 通りを除いて

2^{n} - 1 通り

である。異なる素数どうしで重なりはない（ $L_{n}$ の値が違う）ので、 $L_{n}$ が素数になる場合の数は

3 (2^{n} - 1)

である。全体は $6^{n}$ 通りなので

P (L_{n} が素数) = \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{6 ^{n}} = \frac{3 \cdot 2 ^{n}}{6 ^{n}} - \frac{3}{6 ^{n}} = \frac{1}{3 ^{n - 1}} - \frac{3}{6 ^{n}}

である（ $\frac{3 \cdot 2 ^{n}}{6 ^{n}} = \frac{3}{3 ^{n}} = \frac{1}{3 ^{n - 1}}$ ）。よって求める確率は

1 - \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{6 ^{n}} = 1 - \frac{1}{3 ^{n - 1}} + \frac{3}{6 ^{n}}

である。 $n = 2$ なら $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4}$ である。

$n = 2, 3, 4, 5$ の全列挙で $\frac{3}{4}, \frac{65}{72}, \frac{139}{144}, \frac{2561}{2592}$ となり、式と完全に一致した。

$L_{n}$ は $1$ になることもある（全部 $1$ ）。 $1$ は素数でないので、これは「素数でない」側に入る。

$4$ は素数でないので $p$ の候補から外す。 $6$ も同様。

(3) $G_{n}$ が素数でない確率を求める

答 $1 - \frac{3 ^{n} + 2 ^{n} - 2}{6 ^{n}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{3 ^{n}} + \frac{2}{6 ^{n}}$

$G_{n} = p$ は「すべての目が $p$ の倍数で、公約数がちょうど $p$ 」。 $p = 2, 3, 5$ で数える。

$G_{n}$ が素数 $p$ になるのは、すべての $X_{i}$ が $p$ の倍数で、かつ最大公約数が $p$ より大きくならないときである。

$p = 2$ 。 $X_{i} \in {2, 4, 6}$ で $3^{n}$ 通り。このうち $G_{n} > 2$ になるのは、全部が $4$ （ $G_{n} = 4$ ）か全部が $6$ （ $G_{n} = 6$ ）のときだけである。実際、 $2$ が1つでも出れば $G_{n} = 2$ 、 $4$ と $6$ が混ざれば $g cd (4, 6) = 2$ なのでやはり $G_{n} = 2$ である。よって

3^{n} - 2 通り

である。

$p = 3$ 。 $X_{i} \in {3, 6}$ で $2^{n}$ 通り。 $G_{n} > 3$ になるのは全部が $6$ （ $G_{n} = 6$ ）のときだけなので

2^{n} - 1 通り

である。

$p = 5$ 。 $X_{i} = 5$ しかないので $1$ 通りで、 $G_{n} = 5$ である。

$G_{n}$ の値が違うので3つの場合に重なりはない。合わせて

(3^{n} - 2) + (2^{n} - 1) + 1 = 3^{n} + 2^{n} - 2

通りである。したがって

P (G_{n} が素数) = \frac{3 ^{n} + 2 ^{n} - 2}{6 ^{n}} = \frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{3 ^{n}} - \frac{2}{6 ^{n}}

であり、求める確率は

1 - \frac{3 ^{n} + 2 ^{n} - 2}{6 ^{n}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{3 ^{n}} + \frac{2}{6 ^{n}}

である。 $n = 2$ なら $1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{25}{36}$ である。

$P (G_{n} が素数) = \frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{3 ^{n}} - \frac{2}{6 ^{n}}$ は「全部偶数」 $\frac{1}{2 ^{n}}$ と「全部 $3$ の倍数」 $\frac{1}{3 ^{n}}$ を足して、重なりと例外を引いた形になっている。包除原理で組み立てても同じ式が出る。

$n = 2, 3, 4, 5$ の全列挙で $\frac{25}{36}, \frac{61}{72}, \frac{1201}{1296}, \frac{2501}{2592}$ となり、式と完全に一致した。

$p = 2$ のとき「全部 $4$ 」「全部 $6$ 」を除く。 $G_{n}$ が $4$ や $6$ になると素数でなくなるので、ここを落とすと $2$ 通りぶん多く数えてしまう。

$G_{n} = 1$ （たとえば $2$ と $3$ が混ざる）も素数でない側である。余事象で処理するほうが安全。

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第3問　積分

定積分の公式・放物線と直線の面積・判別式・最小値当サイトの体感難易度：標準

(1)実数 $α, β$ に対し $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{( α - β ) ^{3}}{6}$ が成り立つことを示す

答 $x - α = u$ と置換すると $\int_{0}^{β - α} u {u - (β - α)} d u = - \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( α - β ) ^{3}}{6}$

$u = x - α$ と置換し、 $k = β - α$ とおいて計算する。

$u = x - α$ 、 $k = β - α$ とおくと $x - β = u - k$ 、 $d x = d u$ で、 $x : α \to β$ は $u : 0 \to k$ に対応する。よって

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \int_{0}^{k} u (u - k) d u = \int_{0}^{k} (u^{2} - k u) d u

である。計算すると

[\frac{u ^{3}}{3} - \frac{k}{2} u^{2}]_{0}^{k} = \frac{k ^{3}}{3} - \frac{k ^{3}}{2} = - \frac{k ^{3}}{6}

である。 $- k^{3} = - (β - α)^{3} = (α - β)^{3}$ なので

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{( α - β ) ^{3}}{6}

である。 $α > β$ でも $α = β$ でも、途中で大小を使っていないのでそのまま成り立つ。 $■$

$α < β$ のときは $(α - β)^{3} < 0$ で、区間の内部では $(x - α) (x - β) < 0$ だから符号が合う。囲む面積として使うときは $\frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ の形（絶対値）で覚えておくとよい。

無作為な $300$ 組で数値積分と一致した。

右辺は $(α - β)^{3}$ であって $(β - α)^{3}$ ではない。符号が逆。

(2) $a, b$ を $b > a^{2}$ をみたす定数とし、点 $A (a, b)$ をとる。 $A$ を通り傾き $k$ の直線を $ℓ$ とし、 $ℓ$ と放物線 $y = x^{2}$ で囲まれた部分の面積を $S (k)$ とする。 $k$ が実数全体を動くとき $S (k)$ の最小値を求める

答 $\frac{4}{3} (b - a^{2})^{\frac{3}{2}}$ （ $k = 2 a$ のとき）

交点の差が $D$ （ $D$ は判別式）なので $S (k) = \frac{D ^{3/2}}{6}$ 。 $D$ を $k$ の2次式として最小化する。

$ℓ : y = k (x - a) + b$ と $y = x^{2}$ の交点の $x$ 座標は

x^{2} = k (x - a) + b, x^{2} - k x + (k a - b) = 0

の解である。判別式は

D = k^{2} - 4 (k a - b) = k^{2} - 4 ak + 4 b = (k - 2 a)^{2} + 4 (b - a^{2})

である。 $b > a^{2}$ より $4 (b - a^{2}) > 0$ なので、 $D > 0$ がすべての $k$ で成り立つ。つまり $ℓ$ はどんな傾きでも放物線と2点で交わる（点 $A$ が放物線の上側にあるから当然である）。

2解を $α < β$ とすると $β - α = D$ である。 $α < x < β$ では直線が放物線の上にあるので

S (k) = \int_{α}^{β} {k (x - a) + b - x^{2}} d x = - \int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x

であり、(1) より

S (k) = - \frac{( α - β ) ^{3}}{6} = \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{D ^{\frac{3}{2}}}{6}

である。

$u \mapsto u^{3/2}$ は $u > 0$ で増加なので、 $S (k)$ が最小になるのは $D$ が最小になるときである。 $D = (k - 2 a)^{2} + 4 (b - a^{2})$ は $k = 2 a$ で最小値 $4 (b - a^{2})$ をとる。したがって

S_{m i n} = \frac{{ 4 ( b - a ^{2} ) } ^{\frac{3}{2}}}{6} = \frac{8 ( b - a ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{6} = \frac{4}{3} (b - a^{2})^{\frac{3}{2}}

である。

a = 1、b = 2 の場合。面積を最小にするのは傾き k = 2a = 2 の直線（放物線の x = a における接線と同じ傾き）で、このとき交点は x = 0 と x = 2、面積は 4/3。点線は k = 0 の場合で、囲む部分はもっと広くなる。

最小を与える $k = 2 a$ は、放物線 $y = x^{2}$ の $x = a$ における接線の傾き $2 a$ と同じである。つまり「 $A$ の真下の接点での接線と平行に引く」のが最善で、 $a$ の位置だけで決まり $b$ にはよらない。 $b$ は最小値の大きさ $\frac{4}{3} (b - a^{2})^{3/2}$ （ $A$ が放物線から離れるほど大きい）にだけ効く。

$4$ 通りの $(a, b)$ で $40$ 万点の走査と式が小数第7位まで一致し、最小は毎回 $k = 2 a$ だった。

$S (k) = \frac{D ^{3/2}}{6}$ の $\frac{3}{2}$ 乗は単調増加なので、 $D$ の最小を探せばよい。 $D$ を求めずに $S$ を直接微分すると面倒。

$b > a^{2}$ （ $A$ が放物線の上側）がないと $D > 0$ が保証されず、交わらない $k$ が出てしまう。

$(b - a^{2})^{3/2}$ は $(b - a^{2}) b - a^{2}$ と書いてもよい。指数の形に慣れていなければこちらで。

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問題文について

(1)三角形 ABC において、辺 AB を 2:1 に内分する点を M、辺 AC を 1:2 に内分する点を N とし、線分 BN と線分 CM の交点を P とする。AP を AB と AC で表す

(2)辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とするとき、線分 AP の長さを a,b,c で表す

(1)n を 2 以上の自然数とし、1個のさいころを n 回投げて出る目の数を順に X1​,…,Xn​ とする。最小公倍数を Ln​、最大公約数を Gn​ とする。L2​=5 となる確率および G2​=5 となる確率を求める

(2)Ln​ が素数でない確率を求める

(3)Gn​ が素数でない確率を求める

(1)実数 α,β に対し ∫αβ​(x−α)(x−β)dx=6(α−β)3​ が成り立つことを示す

(2)a,b を b>a2 をみたす定数とし、点 A(a,b) をとる。A を通り傾き k の直線を ℓ とし、ℓ と放物線 y=x2 で囲まれた部分の面積を S(k) とする。k が実数全体を動くとき S(k) の最小値を求める

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(1)三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $M$ 、辺 $AC$ を $1 : 2$ に内分する点を $N$ とし、線分 $BN$ と線分 $CM$ の交点を $P$ とする。 $AP$ を $AB$ と $AC$ で表す

(2)辺 $BC, CA, AB$ の長さをそれぞれ $a, b, c$ とするとき、線分 $AP$ の長さを $a, b, c$ で表す

(1) $n$ を $2$ 以上の自然数とし、1個のさいころを $n$ 回投げて出る目の数を順に $X_{1}, \dots, X_{n}$ とする。最小公倍数を $L_{n}$ 、最大公約数を $G_{n}$ とする。 $L_{2} = 5$ となる確率および $G_{2} = 5$ となる確率を求める

(2) $L_{n}$ が素数でない確率を求める

(3) $G_{n}$ が素数でない確率を求める

(1)実数 $α, β$ に対し $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{( α - β ) ^{3}}{6}$ が成り立つことを示す

(2) $a, b$ を $b > a^{2}$ をみたす定数とし、点 $A (a, b)$ をとる。 $A$ を通り傾き $k$ の直線を $ℓ$ とし、 $ℓ$ と放物線 $y = x^{2}$ で囲まれた部分の面積を $S (k)$ とする。 $k$ が実数全体を動くとき $S (k)$ の最小値を求める