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大阪大学　2022年度　前期日程　文系

第2問確率・整数の解答・解説

最小公倍数と最大公約数・余事象・素数・確率の計算当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $n$ を $2$ 以上の自然数とし、1個のさいころを $n$ 回投げて出る目の数を順に $X_{1}, \dots, X_{n}$ とする。最小公倍数を $L_{n}$ 、最大公約数を $G_{n}$ とする。 $L_{2} = 5$ となる確率および $G_{2} = 5$ となる確率を求める

答 $P (L_{2} = 5) = \frac{1}{12}$ 、 $P (G_{2} = 5) = \frac{1}{36}$

$L = 5$ は「2つとも $5$ の約数で、少なくとも一方が $5$ 」、 $G = 5$ は「2つとも $5$ の倍数」。

$1$ から $6$ までの目のうち、 $5$ の約数は $1$ と $5$ 、 $5$ の倍数は $5$ だけである。

$L_{2} = 5$ 。最小公倍数が $5$ になるのは、 $X_{1}, X_{2}$ がともに $5$ の約数（ $1$ または $5$ ）で、かつ少なくとも一方が $5$ のときである（両方 $1$ なら $L_{2} = 1$ ）。あてはまる組は

(1, 5), (5, 1), (5, 5)

の3通りなので

P (L_{2} = 5) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

である。

$G_{2} = 5$ 。最大公約数が $5$ になるには $X_{1}, X_{2}$ がともに $5$ の倍数でなければならず、 $1$ から $6$ では $5$ しかない。 $(5, 5)$ の1通りで、実際 $G_{2} = 5$ である。よって

P (G_{2} = 5) = \frac{1}{36}

である。

$n = 2$ の全 $36$ 通りの列挙でも $\frac{1}{12}$ と $\frac{1}{36}$ だった。

$L_{2} = 5$ で「両方 $1$ 」を除くのを忘れない。 $(1, 1)$ は $L_{2} = 1$ である。

(2) $L_{n}$ が素数でない確率を求める

答 $1 - \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{6 ^{n}} = 1 - \frac{1}{3 ^{n - 1}} + \frac{3}{6 ^{n}}$

余事象。 $L_{n} = p$ （素数）は「すべての目が $1$ か $p$ 、かつ少なくとも1つが $p$ 」。

$L_{n}$ が素数 $p$ になる場合を数える。 $L_{n} = p$ なら、すべての $X_{i}$ は $p$ の約数なので $X_{i} \in {1, p}$ である。逆に全部が $1$ だと $L_{n} = 1$ なので、少なくとも1つが $p$ でなければならない。

$1$ から $6$ までの素数は $2, 3, 5$ の3つである。素数 $p$ を1つ決めると、 $X_{i} \in {1, p}$ の選び方は $2^{n}$ 通り、そのうち全部 $1$ の $1$ 通りを除いて

2^{n} - 1 通り

である。異なる素数どうしで重なりはない（ $L_{n}$ の値が違う）ので、 $L_{n}$ が素数になる場合の数は

3 (2^{n} - 1)

である。全体は $6^{n}$ 通りなので

P (L_{n} が素数) = \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{6 ^{n}} = \frac{3 \cdot 2 ^{n}}{6 ^{n}} - \frac{3}{6 ^{n}} = \frac{1}{3 ^{n - 1}} - \frac{3}{6 ^{n}}

である（ $\frac{3 \cdot 2 ^{n}}{6 ^{n}} = \frac{3}{3 ^{n}} = \frac{1}{3 ^{n - 1}}$ ）。よって求める確率は

1 - \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{6 ^{n}} = 1 - \frac{1}{3 ^{n - 1}} + \frac{3}{6 ^{n}}

である。 $n = 2$ なら $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4}$ である。

$n = 2, 3, 4, 5$ の全列挙で $\frac{3}{4}, \frac{65}{72}, \frac{139}{144}, \frac{2561}{2592}$ となり、式と完全に一致した。

$L_{n}$ は $1$ になることもある（全部 $1$ ）。 $1$ は素数でないので、これは「素数でない」側に入る。

$4$ は素数でないので $p$ の候補から外す。 $6$ も同様。

(3) $G_{n}$ が素数でない確率を求める

答 $1 - \frac{3 ^{n} + 2 ^{n} - 2}{6 ^{n}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{3 ^{n}} + \frac{2}{6 ^{n}}$

$G_{n} = p$ は「すべての目が $p$ の倍数で、公約数がちょうど $p$ 」。 $p = 2, 3, 5$ で数える。

$G_{n}$ が素数 $p$ になるのは、すべての $X_{i}$ が $p$ の倍数で、かつ最大公約数が $p$ より大きくならないときである。

$p = 2$ 。 $X_{i} \in {2, 4, 6}$ で $3^{n}$ 通り。このうち $G_{n} > 2$ になるのは、全部が $4$ （ $G_{n} = 4$ ）か全部が $6$ （ $G_{n} = 6$ ）のときだけである。実際、 $2$ が1つでも出れば $G_{n} = 2$ 、 $4$ と $6$ が混ざれば $g cd (4, 6) = 2$ なのでやはり $G_{n} = 2$ である。よって

3^{n} - 2 通り

である。

$p = 3$ 。 $X_{i} \in {3, 6}$ で $2^{n}$ 通り。 $G_{n} > 3$ になるのは全部が $6$ （ $G_{n} = 6$ ）のときだけなので

2^{n} - 1 通り

である。

$p = 5$ 。 $X_{i} = 5$ しかないので $1$ 通りで、 $G_{n} = 5$ である。

$G_{n}$ の値が違うので3つの場合に重なりはない。合わせて

(3^{n} - 2) + (2^{n} - 1) + 1 = 3^{n} + 2^{n} - 2

通りである。したがって

P (G_{n} が素数) = \frac{3 ^{n} + 2 ^{n} - 2}{6 ^{n}} = \frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{3 ^{n}} - \frac{2}{6 ^{n}}

であり、求める確率は

1 - \frac{3 ^{n} + 2 ^{n} - 2}{6 ^{n}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{3 ^{n}} + \frac{2}{6 ^{n}}

である。 $n = 2$ なら $1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{25}{36}$ である。

$P (G_{n} が素数) = \frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{3 ^{n}} - \frac{2}{6 ^{n}}$ は「全部偶数」 $\frac{1}{2 ^{n}}$ と「全部 $3$ の倍数」 $\frac{1}{3 ^{n}}$ を足して、重なりと例外を引いた形になっている。包除原理で組み立てても同じ式が出る。

$n = 2, 3, 4, 5$ の全列挙で $\frac{25}{36}, \frac{61}{72}, \frac{1201}{1296}, \frac{2501}{2592}$ となり、式と完全に一致した。

$p = 2$ のとき「全部 $4$ 」「全部 $6$ 」を除く。 $G_{n}$ が $4$ や $6$ になると素数でなくなるので、ここを落とすと $2$ 通りぶん多く数えてしまう。

$G_{n} = 1$ （たとえば $2$ と $3$ が混ざる）も素数でない側である。余事象で処理するほうが安全。

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問題文について

(1)n を 2 以上の自然数とし、1個のさいころを n 回投げて出る目の数を順に X1​,…,Xn​ とする。最小公倍数を Ln​、最大公約数を Gn​ とする。L2​=5 となる確率および G2​=5 となる確率を求める

(2)Ln​ が素数でない確率を求める

(3)Gn​ が素数でない確率を求める

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(2) $L_{n}$ が素数でない確率を求める

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