第3問三角比の解答・解説

正弦定理・3倍角の公式・不等式の証明・角の和当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/19

問題文について

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三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ の長さを $c$ 、辺 $CA$ の長さを $b$ で表す。 $∠ ACB = 3∠ ABC$ であるとき $c < 3 b$ を示す

答正弦定理より $\frac{c}{b} = \frac{sin 3 β}{sin β}$ （ $β = ∠ ABC$ ）。3倍角の公式で $\frac{c}{b} = 3 - 4 sin^{2} β < 3$

正弦定理で辺の比を角の比に直し、3倍角の公式で $sin β$ を約分する。

$β = ∠ ABC$ とおくと $∠ ACB = 3 β$ である。三角形の内角の和より

∠ BAC = π - 4 β > 0, 0 < β < \frac{π}{4}

である。とくに $sin β > 0$ である。

正弦定理より、外接円の直径を $2 R$ として

b = CA = 2 R sin (∠ ABC) = 2 R sin β, c = AB = 2 R sin (∠ ACB) = 2 R sin 3 β

である（辺の対角をとる）。よって

\frac{c}{b} = \frac{sin 3 β}{sin β}

である。3倍角の公式 $sin 3 β = 3 sin β - 4 sin^{3} β$ を使うと

\frac{c}{b} = \frac{3 sin β - 4 sin ^{3} β}{sin β} = 3 - 4 sin^{2} β

である（ $sin β > 0$ なので割ってよい）。 $0 < β < \frac{π}{4}$ では $sin β > 0$ 、したがって $4 sin^{2} β > 0$ なので

\frac{c}{b} = 3 - 4 sin^{2} β < 3

である。 $b > 0$ を掛けて

c < 3 b

を得る。 $■$

∠ABC = 30°、∠ACB = 90° の場合（β = π/6）。a = BC = 1 とすると b = CA ≒ 0.577、c = AB ≒ 1.155 で、3 − 4sin²β = 3 − 1 = 2 より c = 2b。たしかに c < 3b になっている。

$\frac{c}{b} = 3 - 4 sin^{2} β$ は $β \to 0$ で $3$ に近づくが、 $β > 0$ なので $3$ には届かない。つまり $c < 3 b$ は最良の評価で、 $3$ を $2.999$ に下げることはできない。この問題は同じ年度の理系第3問（ $∠ ACB = n ∠ ABC$ で $c < nb$ ）の $n = 3$ の場合で、理系では一般の $n$ を帰納法で扱う。

$30$ 万点の走査で $\frac{sin 3 β}{sin β} < 3$ の違反は $0$ 件だった。

正弦定理で対応する角を取り違えやすい。辺 $CA$ の対角は $∠ ABC$ 、辺 $AB$ の対角は $∠ ACB$ である。

$sin β > 0$ を確かめてから約分する。 $0 < β < \frac{π}{4}$ は内角の和から出る。

$3 - 4 sin^{2} β$ は負になることもある（ $β > \frac{π}{6}$ ）。「 $c < 3 b$ 」は言えるが「 $c > 0$ だから $0 < \frac{c}{b}$ 」まで含めて考えると、 $β < \frac{π}{3}$ が要る。もっとも内角の和から $β < \frac{π}{4}$ なので心配はいらない。

▸ 別解：差をとって微分する

$F (β) = 3 sin β - sin 3 β$ とおくと $F (0) = 0$ で

F^{'} (β) = 3 cos β - 3 cos 3 β = 3 (cos β - cos 3 β)

である。 $0 < β < \frac{π}{4}$ では $0 < β < 3 β < \frac{3 π}{4} < π$ で、 $cos$ は $[0, π]$ で減少するので $cos β > cos 3 β$ 、つまり $F^{'} > 0$ である。よって $F (β) > F (0) = 0$ 、すなわち $sin 3 β < 3 sin β$ である。