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大阪大学　2020年度　前期日程　文系

第1問微分・三角関数の解答・解説

3次関数の極値・因数分解・2次関数の最大最小・三角方程式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/19

問題文について

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(1) $a$ を $0 \leq a < 2 π$ をみたす実数とし、 $f (x) = 2 x^{3} - (6 + 3 sin a) x^{2} + (12 sin a) x + sin^{3} a + 6 sin a + 5$ とする。 $f (x)$ がただ1つの極大値をもつことを示し、その極大値 $M (a)$ を求める

答 $f^{'} (x) = 6 (x - 2) (x - sin a)$ で $sin a \leq 1 < 2$ だから極大は $x = sin a$ の1つだけ。 $M (a) = 6 sin^{2} a + 6 sin a + 5$

$s = sin a$ とおく。 $f^{'}$ が $6 (x - 2) (x - s)$ と因数分解でき、 $s < 2$ が効く。

$s = sin a$ とおくと $- 1 \leq s \leq 1$ である。微分すると

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 (6 + 3 s) x + 12 s = 6 {x^{2} - (2 + s) x + 2 s}

であり、中括弧は因数分解できて

f^{'} (x) = 6 (x - 2) (x - s)

である。 $s \leq 1 < 2$ なので $s < 2$ であり、 $f^{'}$ の符号は

$x < s$ ： $(x - 2) < 0$ 、 $(x - s) < 0$ より $f^{'} > 0$ （増加）
$s < x < 2$ ： $(x - 2) < 0$ 、 $(x - s) > 0$ より $f^{'} < 0$ （減少）
$x > 2$ ：どちらも正で $f^{'} > 0$ （増加）

と変わる。よって $f$ は $x = s$ で極大、 $x = 2$ で極小になり、極大値はただ1つである。

極大値は $x = s$ を代入して

f (s) = 2 s^{3} - (6 + 3 s) s^{2} + 12 s \cdot s + s^{3} + 6 s + 5 = 2 s^{3} - 6 s^{2} - 3 s^{3} + 12 s^{2} + s^{3} + 6 s + 5 = (2 - 3 + 1) s^{3} + (- 6 + 12) s^{2} + 6 s + 5

である。 $s^{3}$ の係数が $0$ になって3次の項が消え

M (a) = 6 sin^{2} a + 6 sin a + 5

である。

sin a = −1/2（M が最小になるとき）のグラフ。極大は x = sin a、極小は x = 2 の 1 つずつ。sin a は 1 以下なのでいつも極大が左、極小が右にくる。

$sin^{3} a$ の項が定数項に置いてあるのは、 $x = s$ を代入したときに $2 s^{3} - 3 s^{3} + s^{3} = 0$ とちょうど打ち消すためである。おかげで $M$ は $s$ の2次式になり、(2) が2次関数の最大最小に落ちる。

$s$ を $0.001$ 刻みで動かして、 $f^{'}$ と $6 (x - 2) (x - s)$ 、 $f (s)$ と $6 s^{2} + 6 s + 5$ が一致した。

$f^{'}$ の因数分解で $x^{2} - (2 + s) x + 2 s = (x - 2) (x - s)$ 。和が $2 + s$ 、積が $2 s$ と確かめる。

$s < 2$ （ $sin a \leq 1$ ）を言わないと、どちらが極大か決まらない。

(2) $0 \leq a < 2 π$ における $M (a)$ の最大値とそのときの $a$ の値、最小値とそのときの $a$ の値をそれぞれ求める

答最大値 $17$ （ $a = \frac{π}{2}$ ）、最小値 $\frac{7}{2}$ （ $a = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ ）

$s = sin a$ は $- 1 \leq s \leq 1$ をくまなく動く。 $6 s^{2} + 6 s + 5$ の $[- 1, 1]$ での最大最小。

$0 \leq a < 2 π$ のとき $s = sin a$ は $- 1 \leq s \leq 1$ の値をくまなくとる。 $M = 6 s^{2} + 6 s + 5$ を平方完成すると

M = 6 (s + \frac{1}{2})^{2} + 5 - \frac{3}{2} = 6 (s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{2}

である。下に凸で軸は $s = - \frac{1}{2}$ 、これは $- 1 \leq s \leq 1$ の中にある。

最小。軸で最小になり

M_{m i n} = \frac{7}{2} (s = - \frac{1}{2})

である。 $0 \leq a < 2 π$ で $sin a = - \frac{1}{2}$ となるのは

a = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}

の2つである。

最大。軸から遠いほうの端で最大になる。軸 $- \frac{1}{2}$ から $s = 1$ までは $\frac{3}{2}$ 、 $s = - 1$ までは $\frac{1}{2}$ なので、 $s = 1$ のほうが遠い。

M_{m a x} = 6 + 6 + 5 = 17 (s = 1)

である。 $0 \leq a < 2 π$ で $sin a = 1$ となるのは $a = \frac{π}{2}$ のみである。

M = 6s² + 6s + 5（s = sin a）のグラフ。s は −1 から 1 までをくまなく動く。軸 s = −1/2 で最小 7/2、軸から遠い端 s = 1 で最大 17。s = −1 では 5 で、最大にはならない。

$40$ 万等分の走査で最大 $17.0000000$ （ $s = 1$ ）、最小 $3.5000000$ （ $s = - 0.5$ ）だった。

$s = sin a$ の動く範囲は $[- 1, 1]$ 。 $a$ のまま微分しようとすると遠回りになる。

最大は軸から遠い端。 $s = - 1$ で $M = 5$ だが、 $s = 1$ の $17$ のほうが大きい。

$sin a = - \frac{1}{2}$ をみたす $a$ は $0 \leq a < 2 π$ に2つある。片方だけにしない。

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問題文について

(1)a を 0≤a<2π をみたす実数とし、f(x)=2x3−(6+3sina)x2+(12sina)x+sin3a+6sina+5 とする。f(x) がただ1つの極大値をもつことを示し、その極大値 M(a) を求める

(2)0≤a<2π における M(a) の最大値とそのときの a の値、最小値とそのときの a の値をそれぞれ求める

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(1) $a$ を $0 \leq a < 2 π$ をみたす実数とし、 $f (x) = 2 x^{3} - (6 + 3 sin a) x^{2} + (12 sin a) x + sin^{3} a + 6 sin a + 5$ とする。 $f (x)$ がただ1つの極大値をもつことを示し、その極大値 $M (a)$ を求める

(2) $0 \leq a < 2 π$ における $M (a)$ の最大値とそのときの $a$ の値、最小値とそのときの $a$ の値をそれぞれ求める