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大阪大学　2020年度　前期日程　文系

阪大文系 2020年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/19

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/19時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分・三角関数

3次関数の極値・因数分解・2次関数の最大最小・三角方程式当サイトの体感難易度：標準

(1) $a$ を $0 \leq a < 2 π$ をみたす実数とし、 $f (x) = 2 x^{3} - (6 + 3 sin a) x^{2} + (12 sin a) x + sin^{3} a + 6 sin a + 5$ とする。 $f (x)$ がただ1つの極大値をもつことを示し、その極大値 $M (a)$ を求める

答 $f^{'} (x) = 6 (x - 2) (x - sin a)$ で $sin a \leq 1 < 2$ だから極大は $x = sin a$ の1つだけ。 $M (a) = 6 sin^{2} a + 6 sin a + 5$

$s = sin a$ とおく。 $f^{'}$ が $6 (x - 2) (x - s)$ と因数分解でき、 $s < 2$ が効く。

$s = sin a$ とおくと $- 1 \leq s \leq 1$ である。微分すると

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 (6 + 3 s) x + 12 s = 6 {x^{2} - (2 + s) x + 2 s}

であり、中括弧は因数分解できて

f^{'} (x) = 6 (x - 2) (x - s)

である。 $s \leq 1 < 2$ なので $s < 2$ であり、 $f^{'}$ の符号は

$x < s$ ： $(x - 2) < 0$ 、 $(x - s) < 0$ より $f^{'} > 0$ （増加）
$s < x < 2$ ： $(x - 2) < 0$ 、 $(x - s) > 0$ より $f^{'} < 0$ （減少）
$x > 2$ ：どちらも正で $f^{'} > 0$ （増加）

と変わる。よって $f$ は $x = s$ で極大、 $x = 2$ で極小になり、極大値はただ1つである。

極大値は $x = s$ を代入して

f (s) = 2 s^{3} - (6 + 3 s) s^{2} + 12 s \cdot s + s^{3} + 6 s + 5 = 2 s^{3} - 6 s^{2} - 3 s^{3} + 12 s^{2} + s^{3} + 6 s + 5 = (2 - 3 + 1) s^{3} + (- 6 + 12) s^{2} + 6 s + 5

である。 $s^{3}$ の係数が $0$ になって3次の項が消え

M (a) = 6 sin^{2} a + 6 sin a + 5

である。

sin a = −1/2（M が最小になるとき）のグラフ。極大は x = sin a、極小は x = 2 の 1 つずつ。sin a は 1 以下なのでいつも極大が左、極小が右にくる。

$sin^{3} a$ の項が定数項に置いてあるのは、 $x = s$ を代入したときに $2 s^{3} - 3 s^{3} + s^{3} = 0$ とちょうど打ち消すためである。おかげで $M$ は $s$ の2次式になり、(2) が2次関数の最大最小に落ちる。

$s$ を $0.001$ 刻みで動かして、 $f^{'}$ と $6 (x - 2) (x - s)$ 、 $f (s)$ と $6 s^{2} + 6 s + 5$ が一致した。

$f^{'}$ の因数分解で $x^{2} - (2 + s) x + 2 s = (x - 2) (x - s)$ 。和が $2 + s$ 、積が $2 s$ と確かめる。

$s < 2$ （ $sin a \leq 1$ ）を言わないと、どちらが極大か決まらない。

(2) $0 \leq a < 2 π$ における $M (a)$ の最大値とそのときの $a$ の値、最小値とそのときの $a$ の値をそれぞれ求める

答最大値 $17$ （ $a = \frac{π}{2}$ ）、最小値 $\frac{7}{2}$ （ $a = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ ）

$s = sin a$ は $- 1 \leq s \leq 1$ をくまなく動く。 $6 s^{2} + 6 s + 5$ の $[- 1, 1]$ での最大最小。

$0 \leq a < 2 π$ のとき $s = sin a$ は $- 1 \leq s \leq 1$ の値をくまなくとる。 $M = 6 s^{2} + 6 s + 5$ を平方完成すると

M = 6 (s + \frac{1}{2})^{2} + 5 - \frac{3}{2} = 6 (s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{2}

である。下に凸で軸は $s = - \frac{1}{2}$ 、これは $- 1 \leq s \leq 1$ の中にある。

最小。軸で最小になり

M_{m i n} = \frac{7}{2} (s = - \frac{1}{2})

である。 $0 \leq a < 2 π$ で $sin a = - \frac{1}{2}$ となるのは

a = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}

の2つである。

最大。軸から遠いほうの端で最大になる。軸 $- \frac{1}{2}$ から $s = 1$ までは $\frac{3}{2}$ 、 $s = - 1$ までは $\frac{1}{2}$ なので、 $s = 1$ のほうが遠い。

M_{m a x} = 6 + 6 + 5 = 17 (s = 1)

である。 $0 \leq a < 2 π$ で $sin a = 1$ となるのは $a = \frac{π}{2}$ のみである。

M = 6s² + 6s + 5（s = sin a）のグラフ。s は −1 から 1 までをくまなく動く。軸 s = −1/2 で最小 7/2、軸から遠い端 s = 1 で最大 17。s = −1 では 5 で、最大にはならない。

$40$ 万等分の走査で最大 $17.0000000$ （ $s = 1$ ）、最小 $3.5000000$ （ $s = - 0.5$ ）だった。

$s = sin a$ の動く範囲は $[- 1, 1]$ 。 $a$ のまま微分しようとすると遠回りになる。

最大は軸から遠い端。 $s = - 1$ で $M = 5$ だが、 $s = 1$ の $17$ のほうが大きい。

$sin a = - \frac{1}{2}$ をみたす $a$ は $0 \leq a < 2 π$ に2つある。片方だけにしない。

第1問だけのページ

第2問　確率・数列

確率漸化式・剰余による分類・等比数列・対称性当サイトの体感難易度：標準

(1)円周を3等分する点を時計回りに $A, B, C$ とおく。点 $Q$ は $A$ から出発し、さいころを投げて $1$ の目なら時計回りに隣へ、 $2$ の目なら反時計回りに隣へ移り、その他の目では移らない。 $n$ 回投げたあとに $Q$ が $A$ にある確率を $p_{n}$ とする。 $p_{2}$ を求める

答 $p_{2} = \frac{1}{2}$

2回で $A$ に戻るのは「2回とも動かない」か「1回ずつ逆向きに動く」。

1回の移動は、確率 $\frac{1}{6}$ で時計回りに1つ、確率 $\frac{1}{6}$ で反時計回りに1つ、確率 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ で動かない。

2回投げて $A$ に戻るのは次の2通りである（3点しかないので、同じ向きに2回動くと $A$ には戻らない）。

2回とも動かない： $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$
一方が時計回り、他方が反時計回り： $2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$

足すと

p_{2} = \frac{4}{9} + \frac{1}{18} = \frac{8 + 1}{18} = \frac{1}{2}

である。

「時計回りに2回」だと $A \to B \to C$ で $A$ に戻らない。3点の円周なので、同じ向きに3回動いて初めて戻る。

$n = 2$ の全 $36$ 通りの列挙でも $\frac{1}{2}$ だった。

「同じ向きに2回」で戻ると勘違いしない。戻るのは3回動いたときである。

(2) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ を用いて表す

答 $p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{6}$

$A$ 以外の2点にいる確率は対称性から等しい。それを $\frac{1 - p _{n}}{2}$ と書く。

$n$ 回後に $B$ にいる確率を $q_{n}$ 、 $C$ にいる確率を $r_{n}$ とする。時計回りと反時計回りが同じ確率で、出発点が $A$ なので、 $A$ を軸にした左右の対称性から

q_{n} = r_{n} = \frac{1 - p _{n}}{2}

である。

$n + 1$ 回後に $A$ にいるのは、次の3つの場合である。

$n$ 回後に $A$ にいて、動かない： $\frac{2}{3} p_{n}$
$n$ 回後に $B$ にいて、反時計回りに動く： $\frac{1}{6} q_{n}$
$n$ 回後に $C$ にいて、時計回りに動く： $\frac{1}{6} r_{n}$

（ $A, B, C$ が時計回りに並んでいるので、 $B$ から $A$ へは反時計回り、 $C$ から $A$ へは時計回りである。）足すと

p_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6} (q_{n} + r_{n}) = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n})

であり、整理すると

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{6}

である。

全列挙した $p_{1}, \dots, p_{6}$ がこの漸化式をみたした。

$q_{n} + r_{n} = 1 - p_{n}$ さえ分かれば $q_{n} = r_{n}$ を示す必要はない（ $q_{n}, r_{n}$ が同じ係数 $\frac{1}{6}$ で入るので和だけで足りる）。ただし一言ふれておくと見通しがよい。

(3) $p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n} = \frac{2 ^{n - 1} + 1}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}$

特性方程式 $α = \frac{1}{2} α + \frac{1}{6}$ の解 $α = \frac{1}{3}$ を引く。

$α = \frac{1}{2} α + \frac{1}{6}$ を解くと $α = \frac{1}{3}$ である。(2) の両辺から引くと

p_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} (p_{n} - \frac{1}{3})

なので、 ${p_{n} - \frac{1}{3}}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。 $Q$ は $A$ から出発するので $p_{0} = 1$ とおけて

p_{n} - \frac{1}{3} = (1 - \frac{1}{3}) (\frac{1}{2})^{n} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n}

である。よって

p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n} = \frac{2 ^{n - 1} + 1}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}

である。 $p_{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ （1回目に動かない確率）、 $p_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ で (1) と合う。

$n \to \infty$ で $p_{n} \to \frac{1}{3}$ である。3点のどこにいるかが平等に近づく、ということで、同じ年度の理系第2問（複素数の偏角を $3$ で割った余りで追う問題）と同じ式になる。

$n = 1, \dots, 6$ の全列挙で $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{5}{12}, \frac{3}{8}, \frac{17}{48}, \frac{11}{32}$ となり、式と完全に一致した。

$(\frac{1}{2})^{n}$ の指数を $n - 1$ にしない。 $p_{0} = 1$ から始めるなら $n$ 乗である。

▸ 別解：

p_{1}

から始める

$p_{0} = 1$ を使わずに、 $p_{1} = \frac{2}{3}$ （1回目に $A$ にいるのは動かないとき）から始めてもよい。 $n \geq 1$ で

p_{n} - \frac{1}{3} = (p_{1} - \frac{1}{3}) (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n}

となり同じ式になる。 $p_{0} = 1$ と置くほうが初項の扱いが素直だが、「 $0$ 回投げたあと」を定義に含めるか迷うなら $p_{1}$ から始めるのが安全である。

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第3問　三角比

正弦定理・3倍角の公式・不等式の証明・角の和当サイトの体感難易度：標準

三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ の長さを $c$ 、辺 $CA$ の長さを $b$ で表す。 $∠ ACB = 3∠ ABC$ であるとき $c < 3 b$ を示す

答正弦定理より $\frac{c}{b} = \frac{sin 3 β}{sin β}$ （ $β = ∠ ABC$ ）。3倍角の公式で $\frac{c}{b} = 3 - 4 sin^{2} β < 3$

正弦定理で辺の比を角の比に直し、3倍角の公式で $sin β$ を約分する。

$β = ∠ ABC$ とおくと $∠ ACB = 3 β$ である。三角形の内角の和より

∠ BAC = π - 4 β > 0, 0 < β < \frac{π}{4}

である。とくに $sin β > 0$ である。

正弦定理より、外接円の直径を $2 R$ として

b = CA = 2 R sin (∠ ABC) = 2 R sin β, c = AB = 2 R sin (∠ ACB) = 2 R sin 3 β

である（辺の対角をとる）。よって

\frac{c}{b} = \frac{sin 3 β}{sin β}

である。3倍角の公式 $sin 3 β = 3 sin β - 4 sin^{3} β$ を使うと

\frac{c}{b} = \frac{3 sin β - 4 sin ^{3} β}{sin β} = 3 - 4 sin^{2} β

である（ $sin β > 0$ なので割ってよい）。 $0 < β < \frac{π}{4}$ では $sin β > 0$ 、したがって $4 sin^{2} β > 0$ なので

\frac{c}{b} = 3 - 4 sin^{2} β < 3

である。 $b > 0$ を掛けて

c < 3 b

を得る。 $■$

∠ABC = 30°、∠ACB = 90° の場合（β = π/6）。a = BC = 1 とすると b = CA ≒ 0.577、c = AB ≒ 1.155 で、3 − 4sin²β = 3 − 1 = 2 より c = 2b。たしかに c < 3b になっている。

$\frac{c}{b} = 3 - 4 sin^{2} β$ は $β \to 0$ で $3$ に近づくが、 $β > 0$ なので $3$ には届かない。つまり $c < 3 b$ は最良の評価で、 $3$ を $2.999$ に下げることはできない。この問題は同じ年度の理系第3問（ $∠ ACB = n ∠ ABC$ で $c < nb$ ）の $n = 3$ の場合で、理系では一般の $n$ を帰納法で扱う。

$30$ 万点の走査で $\frac{sin 3 β}{sin β} < 3$ の違反は $0$ 件だった。

正弦定理で対応する角を取り違えやすい。辺 $CA$ の対角は $∠ ABC$ 、辺 $AB$ の対角は $∠ ACB$ である。

$sin β > 0$ を確かめてから約分する。 $0 < β < \frac{π}{4}$ は内角の和から出る。

$3 - 4 sin^{2} β$ は負になることもある（ $β > \frac{π}{6}$ ）。「 $c < 3 b$ 」は言えるが「 $c > 0$ だから $0 < \frac{c}{b}$ 」まで含めて考えると、 $β < \frac{π}{3}$ が要る。もっとも内角の和から $β < \frac{π}{4}$ なので心配はいらない。

▸ 別解：差をとって微分する

$F (β) = 3 sin β - sin 3 β$ とおくと $F (0) = 0$ で

F^{'} (β) = 3 cos β - 3 cos 3 β = 3 (cos β - cos 3 β)

である。 $0 < β < \frac{π}{4}$ では $0 < β < 3 β < \frac{3 π}{4} < π$ で、 $cos$ は $[0, π]$ で減少するので $cos β > cos 3 β$ 、つまり $F^{'} > 0$ である。よって $F (β) > F (0) = 0$ 、すなわち $sin 3 β < 3 sin β$ である。

3倍角の公式を覚えていなくても進めるが、この問題では公式を使うほうが2行で終わる。

第3問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)a を 0≤a<2π をみたす実数とし、f(x)=2x3−(6+3sina)x2+(12sina)x+sin3a+6sina+5 とする。f(x) がただ1つの極大値をもつことを示し、その極大値 M(a) を求める

(2)0≤a<2π における M(a) の最大値とそのときの a の値、最小値とそのときの a の値をそれぞれ求める

(2)pn+1​ を pn​ を用いて表す

(3)pn​ を求める

三角形 ABC において、辺 AB の長さを c、辺 CA の長さを b で表す。∠ACB=3∠ABC であるとき c<3b を示す

同じ形式の問題を、5回分

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(1) $a$ を $0 \leq a < 2 π$ をみたす実数とし、 $f (x) = 2 x^{3} - (6 + 3 sin a) x^{2} + (12 sin a) x + sin^{3} a + 6 sin a + 5$ とする。 $f (x)$ がただ1つの極大値をもつことを示し、その極大値 $M (a)$ を求める

(2) $0 \leq a < 2 π$ における $M (a)$ の最大値とそのときの $a$ の値、最小値とそのときの $a$ の値をそれぞれ求める

(2) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ を用いて表す

(3) $p_{n}$ を求める

三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ の長さを $c$ 、辺 $CA$ の長さを $b$ で表す。 $∠ ACB = 3∠ ABC$ であるとき $c < 3 b$ を示す