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大阪大学　2020年度　前期日程　文系

第2問確率・数列の解答・解説

確率漸化式・剰余による分類・等比数列・対称性当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/19

問題文について

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(1)円周を3等分する点を時計回りに $A, B, C$ とおく。点 $Q$ は $A$ から出発し、さいころを投げて $1$ の目なら時計回りに隣へ、 $2$ の目なら反時計回りに隣へ移り、その他の目では移らない。 $n$ 回投げたあとに $Q$ が $A$ にある確率を $p_{n}$ とする。 $p_{2}$ を求める

答 $p_{2} = \frac{1}{2}$

2回で $A$ に戻るのは「2回とも動かない」か「1回ずつ逆向きに動く」。

1回の移動は、確率 $\frac{1}{6}$ で時計回りに1つ、確率 $\frac{1}{6}$ で反時計回りに1つ、確率 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ で動かない。

2回投げて $A$ に戻るのは次の2通りである（3点しかないので、同じ向きに2回動くと $A$ には戻らない）。

2回とも動かない： $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$
一方が時計回り、他方が反時計回り： $2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$

足すと

p_{2} = \frac{4}{9} + \frac{1}{18} = \frac{8 + 1}{18} = \frac{1}{2}

である。

「時計回りに2回」だと $A \to B \to C$ で $A$ に戻らない。3点の円周なので、同じ向きに3回動いて初めて戻る。

$n = 2$ の全 $36$ 通りの列挙でも $\frac{1}{2}$ だった。

「同じ向きに2回」で戻ると勘違いしない。戻るのは3回動いたときである。

(2) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ を用いて表す

答 $p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{6}$

$A$ 以外の2点にいる確率は対称性から等しい。それを $\frac{1 - p _{n}}{2}$ と書く。

$n$ 回後に $B$ にいる確率を $q_{n}$ 、 $C$ にいる確率を $r_{n}$ とする。時計回りと反時計回りが同じ確率で、出発点が $A$ なので、 $A$ を軸にした左右の対称性から

q_{n} = r_{n} = \frac{1 - p _{n}}{2}

である。

$n + 1$ 回後に $A$ にいるのは、次の3つの場合である。

$n$ 回後に $A$ にいて、動かない： $\frac{2}{3} p_{n}$
$n$ 回後に $B$ にいて、反時計回りに動く： $\frac{1}{6} q_{n}$
$n$ 回後に $C$ にいて、時計回りに動く： $\frac{1}{6} r_{n}$

（ $A, B, C$ が時計回りに並んでいるので、 $B$ から $A$ へは反時計回り、 $C$ から $A$ へは時計回りである。）足すと

p_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6} (q_{n} + r_{n}) = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n})

であり、整理すると

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{6}

である。

全列挙した $p_{1}, \dots, p_{6}$ がこの漸化式をみたした。

$q_{n} + r_{n} = 1 - p_{n}$ さえ分かれば $q_{n} = r_{n}$ を示す必要はない（ $q_{n}, r_{n}$ が同じ係数 $\frac{1}{6}$ で入るので和だけで足りる）。ただし一言ふれておくと見通しがよい。

(3) $p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n} = \frac{2 ^{n - 1} + 1}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}$

特性方程式 $α = \frac{1}{2} α + \frac{1}{6}$ の解 $α = \frac{1}{3}$ を引く。

$α = \frac{1}{2} α + \frac{1}{6}$ を解くと $α = \frac{1}{3}$ である。(2) の両辺から引くと

p_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} (p_{n} - \frac{1}{3})

なので、 ${p_{n} - \frac{1}{3}}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。 $Q$ は $A$ から出発するので $p_{0} = 1$ とおけて

p_{n} - \frac{1}{3} = (1 - \frac{1}{3}) (\frac{1}{2})^{n} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n}

である。よって

p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n} = \frac{2 ^{n - 1} + 1}{3 \cdot 2 ^{n - 1}}

である。 $p_{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ （1回目に動かない確率）、 $p_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ で (1) と合う。

$n \to \infty$ で $p_{n} \to \frac{1}{3}$ である。3点のどこにいるかが平等に近づく、ということで、同じ年度の理系第2問（複素数の偏角を $3$ で割った余りで追う問題）と同じ式になる。

$n = 1, \dots, 6$ の全列挙で $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{5}{12}, \frac{3}{8}, \frac{17}{48}, \frac{11}{32}$ となり、式と完全に一致した。

$(\frac{1}{2})^{n}$ の指数を $n - 1$ にしない。 $p_{0} = 1$ から始めるなら $n$ 乗である。

▸ 別解：

p_{1}

から始める

$p_{0} = 1$ を使わずに、 $p_{1} = \frac{2}{3}$ （1回目に $A$ にいるのは動かないとき）から始めてもよい。 $n \geq 1$ で

p_{n} - \frac{1}{3} = (p_{1} - \frac{1}{3}) (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n}

となり同じ式になる。 $p_{0} = 1$ と置くほうが初項の扱いが素直だが、「 $0$ 回投げたあと」を定義に含めるか迷うなら $p_{1}$ から始めるのが安全である。

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(2)pn+1​ を pn​ を用いて表す

(3)pn​ を求める

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