第3問空間図形の解答・解説

球面の方程式・2球面の共通部分・球面と平面・三平方の定理当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/19

問題文について

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座標空間内の2つの球面 $S_{1} : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 7$ と $S_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 1$ の共通部分を $C$ とする

答 $C$ は平面 $2 x + 4 y + 4 z = 25$ 上の、中心 $(\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3})$ 、半径 $\frac{3}{2}$ の円

2式を引くと2次の項が消えて平面の式になる。

2つの式を展開すると

S_{1} S_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 4 = 0 : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 6 y - 6 z + 21 = 0

である。辺々引くと2次の項が消えて

2 x + 4 y + 4 z - 25 = 0 \dots π

を得る。 $C$ 上の点は $π$ 上にあり、逆に $S_{1}$ と $π$ の共通部分の点は（引き算を戻して） $S_{2}$ 上にもあるので $C = S_{1} \cap π$ である。

$S_{1}$ の中心 $A (1, 1, 1)$ と $π$ の距離は、 $n = (2, 4, 4)$ 、 $∣ n ∣ = 6$ より

\frac{∣ 2 + 4 + 4 - 25 ∣}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}

である。 $7 > \frac{5}{2}$ （ $7 > \frac{25}{4}$ ）なので $C$ は円で、三平方の定理より半径は

ρ = 7 - \frac{25}{4} = \frac{3}{2}

である。 $C$ の中心 $M$ は $A$ から $π$ に下ろした垂線の足で

M = A + \frac{25 - ( 2 + 4 + 4 )}{36} n = (1, 1, 1) + \frac{5}{12} (2, 4, 4) = (\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3})

である。

$S_{1}$ との共通部分が $C$ になる球面の形。そのような球面 $S$ は $C$ を含むので、中心は $M$ を通り $π$ に垂直な直線

P = M + s \cdot \frac{n}{6} = (\frac{11}{6} + \frac{s}{3}, \frac{8}{3} + \frac{2 s}{3}, \frac{8}{3} + \frac{2 s}{3})

の上にあり、半径は三平方の定理より

r (s) = ρ^{2} + s^{2} = \frac{3}{4} + s^{2}

である。逆に、この形の球面はどれも $C$ を含み、 $S_{1}$ とは異なる球面なので、 $S_{1}$ との共通部分はちょうど $C$ になる。

平面 π に垂直で S₁ の中心 A を通る平面で切った断面（S₂ は省いた）。C はこの断面では 2 点に見え、どの円もその 2 点を通る。C を通る球面の中心はすべて横軸（A を通り π に垂直な直線）の上にあり、いちばん小さいのは中心が C の中点 M にくるとき（半径 √3/2）。半径 √3 のものは M の左右に 1 つずつある。

この問題は同じ年度の理系第5問とまったく同じで、答えも一致する。文系では空間ベクトルの範囲で解ける題材なので、そのまま共通に出せる形になっている。

$C$ 上の $2000$ 点がすべて $S_{1}$ と $S_{2}$ の上にあった。

「 $S_{1}$ との共通部分が $C$ となる球面」には $S_{2}$ 以外にも無数にある。中心が1本の直線上を動く1径数の族になる。

(1) $S_{1}$ との共通部分が $C$ となるような球面のうち、半径が最小となる球面の方程式を求める

答 $(x - \frac{11}{6})^{2} + (y - \frac{8}{3})^{2} + (z - \frac{8}{3})^{2} = \frac{3}{4}$

$r (s) = \frac{3}{4} + s^{2}$ は $s = 0$ で最小。

$r (s) = \frac{3}{4} + s^{2}$ は $s = 0$ のとき最小値 $\frac{3}{2}$ をとる。このとき中心は $M = (\frac{11}{6}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3})$ である。

$\frac{3}{2} \neq = 7$ なので、この球面は $S_{1}$ とは異なり、 $S_{1}$ との共通部分はちょうど $C$ になる。よって求める方程式は

(x - \frac{11}{6})^{2} + (y - \frac{8}{3})^{2} + (z - \frac{8}{3})^{2} = \frac{3}{4}

である。これは $C$ を大円とする球面、つまり「 $C$ をちょうど赤道にもつ球面」である。

$C$ 上の $2000$ 点がこの球面上にあり、中心からの距離はすべて $0.8660254$ だった。

半径の最小は $C$ の半径そのもの。 $C$ より小さい球面は $C$ を含めない。

(2) $S_{1}$ との共通部分が $C$ となるような球面のうち、半径が $3$ となる球面の方程式を求める

答 $(x - \frac{7}{3})^{2} + (y - \frac{11}{3})^{2} + (z - \frac{11}{3})^{2} = 3$ と $(x - \frac{4}{3})^{2} + (y - \frac{5}{3})^{2} + (z - \frac{5}{3})^{2} = 3$ の2つ