第1問三角関数・領域の解答・解説

三角関数の合成・領域の図示・線形計画法・多角形の頂点当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/19

問題文について

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(1) $x y$ 平面において、連立不等式 $0 \leq x \leq π$ 、 $0 \leq y \leq π$ 、 $2 sin (x + y) - 2 cos (x + y) \geq 2$ の表す領域を $D$ とする。 $D$ を図示する

答正方形 $0 \leq x \leq π$ 、 $0 \leq y \leq π$ のうち $\frac{5 π}{12} \leq x + y \leq \frac{13 π}{12}$ をみたす部分（六角形）

$u = x + y$ とおいて合成する。 $22 sin (u - \frac{π}{4}) \geq 2$ 。

$u = x + y$ とおく。 $0 \leq x \leq π$ 、 $0 \leq y \leq π$ より $0 \leq u \leq 2 π$ である。

左辺を合成すると

2 sin u - 2 cos u = 22 sin (u - \frac{π}{4})

なので、条件は

22 sin (u - \frac{π}{4}) \geq 2, sin (u - \frac{π}{4}) \geq \frac{1}{2}

である。 $v = u - \frac{π}{4}$ とおくと $- \frac{π}{4} \leq v \leq \frac{7 π}{4}$ で、この範囲で $sin v \geq \frac{1}{2}$ となるのは

\frac{π}{6} \leq v \leq \frac{5 π}{6}

のときだけである（次の周期 $\frac{π}{6} + 2 π$ は範囲の外）。 $u = v + \frac{π}{4}$ に戻すと

\frac{π}{6} + \frac{π}{4} \leq u \leq \frac{5 π}{6} + \frac{π}{4}, \frac{5 π}{12} \leq x + y \leq \frac{13 π}{12}

である。したがって

D = {(x, y) 0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq π, \frac{5 π}{12} \leq x + y \leq \frac{13 π}{12}}

である。これは正方形を2本の平行な直線で切り取った六角形で、頂点は

(\frac{5 π}{12}, 0), (π, 0), (π, \frac{π}{12}), (\frac{π}{12}, π), (0, π), (0, \frac{5 π}{12})

である（ $\frac{5 π}{12} < π$ なので下の直線は正方形の左下角を切り、 $π < \frac{13 π}{12} < 2 π$ なので上の直線は右上角を切る。切り口の座標は $\frac{13 π}{12} - π = \frac{π}{12}$ ）。

網をかけた六角形が D（境界を含む）。正方形 0 ≦ x ≦ π、0 ≦ y ≦ π から、左下の角（x + y < 5π/12）と右上の角（x + y > 13π/12）を切り落とした形。点線が 2 本の境界の直線。

$1200 \times 1200$ の格子で、元の不等式と帯の不等式の判定が一致した。

$u$ の動く範囲は $0 \leq u \leq 2 π$ 。 $sin v \geq \frac{1}{2}$ の解をこの範囲に収まるぶんだけ拾う。周期を忘れて2つ書くと余分が出る。

$x + y = \frac{13 π}{12}$ は正方形の右上の角を切る。 $\frac{13 π}{12} > π$ なので、 $x$ 軸・ $y$ 軸ではなく上辺・右辺と交わる。

(2)点 $(x, y)$ が領域 $D$ を動くとき、 $2 x + y$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{25 π}{12}$ （ $(π, \frac{π}{12})$ ）、最小値 $\frac{5 π}{12}$ （ $(0, \frac{5 π}{12})$ ）

$D$ は凸多角形で $2 x + y$ は1次式なので、最大最小は頂点で起きる。6つの頂点を調べる。

$D$ は (1) の六角形で、凸である（正方形と2本の直線の決める半平面の共通部分だから）。 $2 x + y$ は1次式なので、最大値・最小値は頂点のどれかでとる。6つの頂点で値を計算すると

(\frac{5 π}{12}, 0) (\frac{π}{12}, π) : \frac{5 π}{6}, : \frac{7 π}{6}, (π, 0) (0, π) : 2 π = \frac{24 π}{12}, : π, (π, \frac{π}{12}) (0, \frac{5 π}{12}) : \frac{25 π}{12}, : \frac{5 π}{12}

である。 $\frac{π}{12}$ を単位にそろえると $10, 24, 25, 14, 12, 5$ なので、最大は $\frac{25 π}{12}$ 、最小は $\frac{5 π}{12}$ である。したがって

2 x + y の最大値 2 x + y の最小値 = \frac{25 π}{12} ((x, y) = (π, \frac{π}{12})) = \frac{5 π}{12} ((x, y) = (0, \frac{5 π}{12}))

である。

$2 x + y = k$ は傾き $- 2$ の直線である。帯の境界 $x + y =$ 一定（傾き $- 1$ ）より急なので、 $k$ を大きくしていくと右辺 $x = π$ の上の点で最後に触れ、小さくしていくと左辺 $x = 0$ の上の点で最後に触れる。だから最大・最小の場所は帯の端ではなく、正方形の縦の辺の上に来る。

$1200 \times 1200$ の格子でも最大 $6.5449847$ （ $(π, \frac{π}{12})$ ）、最小 $1.3089969$ （ $(0, \frac{5 π}{12})$ ）だった。

頂点を1つでも落とすと答えが変わる。とくに $(π, \frac{π}{12})$ は $(π, 0)$ より値が大きい。「正方形の角だから」と $(π, 0)$ で止めない。

$2 x + y$ は傾き $- 2$ の直線の族。帯の傾き $- 1$ と違うので、帯の境界上で最大になるとは限らない。

▸ 別解：

x

を固定して

y

を動かす

$x$ を固定すると、 $y$ の動く範囲は $max (0, \frac{5 π}{12} - x) \leq y \leq min (π, \frac{13 π}{12} - x)$ である。 $2 x + y$ は $y$ について増加なので、最大は上端、最小は下端でとる。

最大は $2 x + min (π, \frac{13 π}{12} - x)$ で、 $x \leq \frac{π}{12}$ では $2 x + π$ （増加）、 $x \geq \frac{π}{12}$ では $x + \frac{13 π}{12}$ （増加）。どちらも増加なので $x = π$ で最大、値は $\frac{25 π}{12}$ である。

最小は $2 x + max (0, \frac{5 π}{12} - x)$ で、 $x \leq \frac{5 π}{12}$ では $x + \frac{5 π}{12}$ （増加）、 $x \geq \frac{5 π}{12}$ では $2 x$ （増加）。 $x = 0$ で最小、値は $\frac{5 π}{12}$ である。