第2問 2次方程式の解答・解説

解の和を $S$、積を $P$ とおく。判別式は $D=S^2-4P$ である。$\left|p\right|$ は $p=0$ で、$\left|p+1\right|$ は $p=-1$ で式が変わるので、$p\ge 0$、$-1\le p<0$、$p<-1$ の3つに分ける。

$p\ge 0$ のとき。$\left|p\right|=p$、$\left|p+1\right|=p+1$ なので

であり

である。

$-1\le p<0$ のとき。$\left|p\right|=-p$、$\left|p+1\right|=p+1$ なので

であり

である（$p\ge -1$ だから）。

$p<-1$ のとき。$\left|p\right|=-p$、$\left|p+1\right|=-\left(p+1\right)$ なので

であり

である。

どの場合も $D\ge 0$ なので、この2次方程式はつねに実数解をもつ。$■$

$p<-1$ では $P=0$、つまり $x=0$ が必ず解になる。実際このとき方程式は $x\left\{x-\left(2p+2\right)\right\}=0$ で、解は $0$ と $2p+2$ である。

異なる2つの実数解をもつ条件は $D>0$ である。また

である。(1) の3つの場合で調べる。

$p\ge 0$ のとき。$D=4{\left(p-1\right)}^2>0⟺p\ne 1$ である。また

なので、${\alpha }^2+{\beta }^2\le 1$ は

すなわち $p=\frac{1}{2}$ である。これは $p\ge 0$ と $p\ne 1$ をみたすので、$p=\frac{1}{2}$ が解である。

$-1\le p<0$ のとき。$D=4\left(p+1\right)>0⟺p>-1$ である。また $S=0$ なので

であり、${\alpha }^2+{\beta }^2\le 1$ は

である。$-1<p<0$ と合わせて $-1<p\le -\frac{1}{2}$ が解である。

$p<-1$ のとき。$D=4{\left(p+1\right)}^2>0⟺p\ne -1$ で、$p<-1$ なのでつねに成り立つ。また $P=0$ なので

であり、${\alpha }^2+{\beta }^2\le 1$ は

である。$p<-1$ と合わせて $-\frac{3}{2}\le p<-1$ が解である。

3つを合わせると、求める範囲は

である。$p=-1$ が抜けるのは、そこで $D=0$ になり2解が一致してしまうからである。

$p=\frac{1}{2}$ では $S=1$、$P=0$ で解は $0$ と $1$、${\alpha }^2+{\beta }^2=1$ でぎりぎり等号。$p=-\frac{1}{2}$ では $S=0$、$P=-\frac{1}{2}$ で解は $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$、やはり ${\alpha }^2+{\beta }^2=1$ である。$p=-\frac{3}{2}$ では解が $0$ と $-1$ で、これも $1$ になる。等号が3か所で起きるのがこの問題の作り方である。