2027年度入試向け・大学別オンライン数学模試

東京科学大学
理工系数学入試実戦模試

東京科学大学の数学の出題形式に合わせて作る、大学別の数学模試（いわゆる冠模試の形式）です。オンラインで実施し、記述答案はすべて人力で採点して、大問ごとの得点と解説をお返しします。

東京科学大の模試に申し込む見本問題を見る

参加申込の時点では料金は発生しません。

記述答案を人が読み、大問ごとに得点を出します。

東京科学大の数学は、こういう試験です

当サイトが8年分の過去問を分析した結果です。本模試は、この形式に合わせて作問します。

試験時間: 180分
大問数: 5題
解答形式: 完全記述式
分析した年度: 2019〜2026年度; 8年分

目標は2完+3半（150点前後）である。

よく出ている分野

8年分・全40題の出題分野を数えたもの。1題が複数の分野にまたがるため、合計は題数を上回る。

微分積分（極限・面積・体積・評価）14
整数8
複素数平面6
空間図形・ベクトル5
平面図形・2次曲線5

東京科学大数学の出題分析をくわしく読む

どんな問題が出て、どう採点されるか

本模試の見本を1題そのまま載せます。解答例と採点表まで出しますので、申し込む前に中身をご確認ください。

見本問題数列／20点／解答時間の目安 25分

数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。すべての自然数 $n$ に対して

S_{n} = 2 a_{n} - 3 n

が成り立つとする。

(1) $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ を求めよ。（4点）
(2) $a_{n + 1}$ を $a_{n}$ を用いて表し、一般項 $a_{n}$ を求めよ。（8点）
(3) $T_{n} = k = 1 \sum n k a_{k}$ を $n$ を用いて表せ。（8点）

既刊「合格答案をつくる」シリーズの予想問題を作り替えた見本です。大学の過去問そのものではありません。

▸解答例を見る

(1) $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ を求めよ。

答 $a_{1} = 3, a_{2} = 9, a_{3} = 21$

$n = 1$ のとき $S_{1} = a_{1}$ だから、与えられた関係式は $a_{1} = 2 a_{1} - 3$ となり $a_{1} = 3$ 。

$n = 2$ のとき $S_{2} = a_{1} + a_{2}$ だから $3 + a_{2} = 2 a_{2} - 6$ となり $a_{2} = 9$ 。同様に $n = 3$ では $3 + 9 + a_{3} = 2 a_{3} - 9$ となり $a_{3} = 21$ 。

(2) $a_{n + 1}$ を $a_{n}$ を用いて表し、一般項 $a_{n}$ を求めよ。

答 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ 、 $a_{n} = 3 (2^{n} - 1)$

$a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_{n}$ である。与えられた関係式を $n + 1$ と $n$ で書いて差をとると

a_{n + 1} = {2 a_{n + 1} - 3 (n + 1)} - (2 a_{n} - 3 n) = 2 a_{n + 1} - 2 a_{n} - 3

整理して $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ を得る。これは $n \geq 1$ で成り立つ。

両辺に $3$ を足すと $a_{n + 1} + 3 = 2 (a_{n} + 3)$ となるので、数列 ${a_{n} + 3}$ は公比 $2$ の等比数列である。初項は $a_{1} + 3 = 6$ だから

a_{n} + 3 = 6 \cdot 2^{n - 1} = 3 \cdot 2^{n} よって a_{n} = 3 (2^{n} - 1)

$n = 1, 2, 3$ を入れると $3, 9, 21$ となり、(1) で求めた値と合う。漸化式を立てたあとは、必ず最初の数項で確かめておきたい。

(3) $T_{n} = k = 1 \sum n k a_{k}$ を $n$ を用いて表せ。

答 $T_{n} = 3 (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 6 - \frac{3 n ( n + 1 )}{2}$

(2) より $k a_{k} = 3 k \cdot 2^{k} - 3 k$ だから

T_{n} = 3 k = 1 \sum n k \cdot 2^{k} - 3 k = 1 \sum n k

後ろの和は $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。前の和を $U_{n} = k = 1 \sum n k \cdot 2^{k}$ とおき、 $2$ 倍してずらして引く。

U_{n} - 2 U_{n} = 2 + k = 2 \sum n 2^{k} - n \cdot 2^{n + 1} = 2 + (2^{n + 1} - 4) - n \cdot 2^{n + 1}

左辺は $- U_{n}$ だから $U_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2$ となる。したがって

T_{n} = 3 {(n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2} - \frac{3 n ( n + 1 )}{2} = 3 (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 6 - \frac{3 n ( n + 1 )}{2}

$n = 1$ では $T_{1} = 1 \cdot a_{1} = 3$ で、式の値も $0 + 6 - 3 = 3$ 。 $n = 2$ では $3 + 2 \cdot 9 = 21$ で、式の値も $24 + 6 - 9 = 21$ 。

▸採点表を見る

この1題は20点満点です。答えが合っているかどうかだけでなく、どこまで書けているかで部分点を付けます。下の配点と基準は本模試のもので、大学が公表しているものではありません。

(1)4点
点が付くところ
- $S_{1} = a_{1}$ を使って $a_{1}$ を出している
- $S_{2}, S_{3}$ を前の項の和として書き直している
- 3つとも正しい
引かれるところ
- $a_{1}$ を求めずに $a_{2}$ から書き始めている
- 答えだけで、どの $n$ を代入したかが読み取れない
(2)8点
点が付くところ
- $a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_{n}$ を使うと述べている
- 差をとって $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ まで整理できている
- $a_{n} + 3$ が等比数列になることを使い、初項を $a_{1} + 3 = 6$ と正しく取っている
- 一般項が合っている
引かれるところ
- $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を $n \geq 2$ の断りなしに $n = 1$ でも使っている
- 等比数列の初項を $a_{1} = 3$ としてしまい、 $+ 3$ の分だけずれている
- 漸化式は出せたが、一般項まで解ききれていない
(3)8点
点が付くところ
- $k a_{k}$ を $2$ つの和に分けている
- $\sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k}$ をずらして引く方法で正しく求めている
- $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ を使っている
- 最後まで $n$ の式にまとめきっている
引かれるところ
- ずらして引くときに、両端の項（ $k = 1$ の分と $k = n + 1$ の分）の扱いを誤っている
- $U_{n}$ までは出せたが、 $T_{n}$ に戻すときの係数 $3$ を落としている
- $n = 1$ などで確かめておらず、符号の誤りがそのまま残っている