第4問 微分積分の解答・解説

$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=0,\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。符号は $-,+,-,+$ と変わるので、$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ で極小、$x=0$ で極大。

$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ でともに極小値 $-\frac{1}{4}$ をとるので、$y=-\frac{1}{4}$ はこの2点で接する。

$x^4-x^2=k$ で $u=x^2(\ge 0)$ とおくと $u^2-u-k=0$、$u=\frac{1\pm \sqrt{1+4k}}{2}$。正の解1つにつき $x$ が2個（$u=0$ なら1個）出る。

1. $k>0$ … 正の解は1つだけ。共有点は2個
2. $k=0$ … $u=0,1$ で共有点は3個
3. $-\frac{1}{4}<k<0$ … 正の解が2つで共有点は4個
4. $k=-\frac{1}{4}$ … これは $\ell$ そのもので、$m\ne \ell$ より除く

よって $m:y=k(k>0)$。まず $S$ を求める。(2) の完全平方を使って

次に $T$。共有点の $x$ 座標を $\pm \alpha$（$\alpha =\sqrt{u}>1$）とすると $k={\alpha }^4-{\alpha }^2$ で

したがって

$\frac{T}{S}>\sqrt{2}$ は $12{\alpha }^5-10{\alpha }^3>2$、すなわち

$g(1)=0$ で、$g^{\prime }(\alpha )=15{\alpha }^2(2{\alpha }^2-1)>0$（$\alpha >1$）だから $g$ は増加。$k>0$ より $\alpha >1$ なので $g(\alpha )>g(1)=0$。よって $\frac{T}{S}>\sqrt{2}$。