東北大学　2026年度　前期日程　文系

東北大文系 2026年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法・図形と方程式

放物線の接線・解と係数の関係・垂直二等分線・2次関数の最小値当サイトの体感難易度：標準

(1)点 $(u, u - 1)$ を通る接線がちょうど2本あることを示す

答接点の $x$ 座標の方程式 $t^{2} - 2 u t + u - 1 = 0$ の判別式が $u^{2} - u + 1 = (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$

方針接点を $t$ とおいて「通る」条件を $t$ の2次方程式にする。接線の本数＝この方程式の実数解の個数。

$C : y = x^{2}$ の $x = t$ における接線は $y = 2 t x - t^{2}$ 。点 $(u, u - 1)$ を通るので

u - 1 = 2 t u - t^{2} ⟺ t^{2} - 2 u t + u - 1 = 0

判別式を $4$ で割った値は

\frac{D}{4} = u^{2} - (u - 1) = u^{2} - u + 1 = (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

つねに正なので、 $t$ の相異なる実数解が2つある。接点が違えば接線も違うから、接線はちょうど2本。

答案で省略しない方がよい点

「接線が2本」を「接点が2つ」に言い換えるとき、接点が違えば接線も違うこと（ $y = 2 t x - t^{2}$ の傾き $2 t$ が $t$ で決まる）に一言触れる。

(2) $m$ が $y$ 軸と交わることを示し、交点の $y$ 座標 $q (u)$ の最小値と、それを与える $u$ を求める

答 $q (u) = 2 u^{2} - u + \frac{3}{2}$ 、最小値 $\frac{11}{8}$ （ $u = \frac{1}{4}$ のとき）

方針 $t_{1}, t_{2}$ を個別に求めず、解と係数の関係だけで中点と傾きを出す。 $t_{1} + t_{2} = 2 u, t_{1} t_{2} = u - 1$ しか使わない。

接点を $P_{1} (t_{1}, t_{1}^{2}), P_{2} (t_{2}, t_{2}^{2})$ とすると、(1) の方程式から $t_{1} + t_{2} = 2 u, t_{1} t_{2} = u - 1$ 。

直線 $P_{1} P_{2}$ の傾きは

\frac{t _{1}^{2} - t _{2}^{2}}{t _{1} - t _{2}} = t_{1} + t_{2} = 2 u

$u > 0$ より傾きは $0$ でない。よって垂直二等分線 $m$ の傾きは $- \frac{1}{2 u}$ で、 $m$ は $y$ 軸と平行にならず、必ず $y$ 軸と交わる。

中点は

(u, \frac{t _{1}^{2} + t _{2}^{2}}{2}) = (u, \frac{( 2 u ) ^{2} - 2 ( u - 1 )}{2}) = (u, 2 u^{2} - u + 1)

$m : y - (2 u^{2} - u + 1) = - \frac{1}{2 u} (x - u)$ に $x = 0$ を入れて

q (u) = 2 u^{2} - u + 1 + \frac{1}{2} = 2 u^{2} - u + \frac{3}{2} = 2 (u - \frac{1}{4})^{2} + \frac{11}{8}

$u > 0$ の範囲に頂点 $u = \frac{1}{4}$ が入っているので、最小値は $\frac{11}{8}$ 。

検算

$u = \frac{1}{4}$ のとき $t^{2} - \frac{1}{2} t - \frac{3}{4} = 0$ から $t = \frac{1 \pm 13}{4}$ 。接点の中点は $(\frac{1}{4}, \frac{15}{16})$ 、 $m$ の傾きは $- 2$ で、 $y$ 切片は $\frac{15}{16} + \frac{1}{2} = \frac{23}{16}$ ……ではなく $\frac{15}{16} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{11}{8}$ 。数値でも一致する。

答案で省略しない方がよい点

$y$ 軸と交わることの根拠は「 $m$ が鉛直でない」こと。 $P_{1} P_{2}$ が水平（傾き $0$ ）だと $m$ が鉛直になるが、 $u > 0$ がそれを防いでいる。
$t_{1}, t_{2}$ を根号で書き下す必要はない。対称式だけで中点も傾きも出る。

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第2問　整数

平方剰余・偶奇・mod 4・mod 8・無限降下当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a^{2} + 2 b^{2} = c^{2}$ をみたす正の整数の組を1つ求める

答 $(a, b, c) = (1, 2, 3)$

方針 $c^{2} - a^{2} = 2 b^{2}$ の左辺を $(c - a) (c + a)$ と見て、小さい数で当たりをつける。 $b = 2$ なら右辺が $8 = 2 \cdot 4$ で、 $c - a = 2, c + a = 4$ がはまる。

1^{2} + 2 \cdot 2^{2} = 1 + 8 = 9 = 3^{2}

(2)そのような組が無数にあることを示す

答 $(k, 2 k, 3 k)$ （ $k$ は任意の正の整数）がすべて条件をみたす

方針1つ見つかれば、定数倍がすべて解になる。式が $a, b, c$ について同じ次数（2次の同次式）だから。

$k$ を正の整数とすると、(1) の組を $k$ 倍して

(k)^{2} + 2 (2 k)^{2} = k^{2} + 8 k^{2} = 9 k^{2} = (3 k)^{2}

$k$ が異なれば組も異なるから、条件をみたす正の整数の組は無数にある。

答案で省略しない方がよい点

「無数にある」を示すだけなら、互いに素な組を無限に作る必要はない。定数倍で十分。

(3) $a + c$ と $b$ が偶数であること、さらに $a, c$ がともに偶数なら $b$ が $4$ の倍数であることを示す

答平方数を $mod 8$ で見ると $b$ の偶数性が出る。後半は $(a, b, c) = (2 a^{'}, 2 b^{'}, 2 c^{'})$ と置き直して前半を使い直す

方針平方数は $mod 8$ で $0, 1, 4$ のいずれか。この事実ひとつで前半が片づく。後半は、同じ形の式を小さい組で作り直して前半を適用する（降下法）。

$a + c$ が偶数であること。 $c^{2} - a^{2} = 2 b^{2}$ は偶数なので $c^{2} \equiv a^{2} (mod 2)$ 、したがって $c \equiv a (mod 2)$ 。よって $a + c$ は偶数。

$b$ が偶数であること。 $a, c$ の偶奇で分ける。

$a, c$ がともに奇数のとき … 奇数の平方は $mod 8$ で $1$ だから $2 b^{2} = c^{2} - a^{2} \equiv 0 (mod 8)$ 、つまり $b^{2} \equiv 0 (mod 4)$ で $b$ は偶数
$a, c$ がともに偶数のとき … $a = 2 a^{'}, c = 2 c^{'}$ とおくと $2 b^{2} = 4 (c^{' 2} - a^{' 2})$ 、つまり $b^{2} = 2 (c^{' 2} - a^{' 2})$ は偶数。平方が偶数なら元も偶数なので $b$ は偶数

後半。 $a, c$ がともに偶数とし、 $a = 2 a^{'}, c = 2 c^{'}$ 、さらに前半より $b = 2 b^{'}$ と書ける。代入すると

4 a^{' 2} + 2 \cdot 4 b^{' 2} = 4 c^{' 2} ⟺ a^{' 2} + 2 b^{' 2} = c^{' 2}

$a^{'}, b^{'}, c^{'}$ も正の整数で、同じ形の式をみたす。だから前半がそのまま使えて $b^{'}$ は偶数。よって $b = 2 b^{'}$ は $4$ の倍数。

検算

$a, b, c \leq 400$ をすべて調べると、解はつねに $a + c$ が偶数で $b$ も偶数。 $a, c$ がともに偶数の解（ $(2, 4, 6), (4, 8, 12), \dots$ ）では $b$ が必ず $4$ の倍数になっている。

答案で省略しない方がよい点

後半を「 $b^{2}$ が $8$ の倍数だから」と直接押すより、 $2$ で割って同じ形に戻し前半を使い直すほうが短い。降下法の型。
$a, c$ がともに奇数の場合に $mod 8$ が要る。 $mod 4$ では $2 b^{2} \equiv 0 (mod 4)$ までしか出ず、 $b$ の偶数性に届かない。

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第3問　ベクトル

内分点・交点の表し方・内積と垂直条件・円の方程式への変形当サイトの体感難易度：難

(1) $t$ を $s$ で表し、 $s$ のとりうる値の範囲を求める

答 $t = \frac{1 - 2 s}{5 - s}$ 、 $0 < s < \frac{1}{2}$

方針垂直条件は $AE \cdot BD = 0$ 。成分に分けず、 $∣ a ∣^{2} = 2, ∣ b ∣^{2} = 5, a \cdot b = 1$ をそのまま代入する。

$OD = s a, OE = t b$ なので

AE = t b - a, BD = s a - b

内積を取って与えられた値を代入すると

(t b - a) \cdot (s a - b) = s t - 5 t - 2 s + 1 = 0 ⟺ t = \frac{1 - 2 s}{5 - s}

$0 < s < 1$ より $5 - s > 0$ 。 $t > 0 ⟺ 1 - 2 s > 0 ⟺ s < \frac{1}{2}$ 、 $t < 1 ⟺ 1 - 2 s < 5 - s ⟺ s > - 4$ （つねに成立）。よって $0 < s < \frac{1}{2}$ 。

答案で省略しない方がよい点

$t$ の範囲 $0 < t < 1$ が $s$ の範囲を決める。 $t$ を求めて終わりにしない。

(2) $OF$ を $a, b, s$ で表す

答 $OF = \frac{s ( s + 4 ) a + ( 1 - s ) ( 1 - 2 s ) b}{2 s ^{2} - 2 s + 5}$

方針 $F$ を線分 $AE$ 上と線分 $BD$ 上の両方で表し、 $a, b$ が1次独立であることから係数を比べる。

$OF = (1 - α) a + α t b = β s a + (1 - β) b$ とおく。係数を比べて

1 - α = β s, α t = 1 - β

$β$ を消すと $1 - s = α (1 - t s)$ 。(1) の $t$ を入れて

1 - t s = \frac{( 5 - s ) - s ( 1 - 2 s )}{5 - s} = \frac{2 s ^{2} - 2 s + 5}{5 - s}, α = \frac{( 1 - s ) ( 5 - s )}{2 s ^{2} - 2 s + 5}

これを戻すと、 $a$ の係数は

1 - α = \frac{2 s ^{2} - 2 s + 5 - ( s ^{2} - 6 s + 5 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5} = \frac{s ( s + 4 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5}

$b$ の係数は $α t = \frac{( 1 - s ) ( 1 - 2 s )}{2 s ^{2} - 2 s + 5}$ 。以上を合わせて答えになる。

検算

$s = \frac{1}{4}$ とすると $OF = \frac{17}{74} a + \frac{3}{37} b$ 。 $a, b$ を実際の座標にとって交点を数値で求めても同じ点になる。

答案で省略しない方がよい点

$a, b$ が1次独立であることを使う。三角形 $OAB$ があるという前提がその根拠。

(3)条件をみたす $P$ 全体が半径 $3$ の円になる必要十分条件と、そのときの $s$ を求める

答必要十分条件は $OF \cdot (b - a) = 0$ 、このとき $s = \frac{2}{7}$

方針 $FP = OP - OF$ と置き換えて、 $∣ OP ∣^{2}$ について平方完成する。半径の2乗が $9$ になる条件を読み取る。

$p = OP, f = OF$ とおくと、条件の式は

∣ p ∣^{2} + 2 (p - f) \cdot (b - a) = 4

$p$ について平方完成すると

p + (b - a)^{2} = 4 + ∣ b - a ∣^{2} + 2 f \cdot (b - a)

$∣ b - a ∣^{2} = 5 - 2 \cdot 1 + 2 = 5$ なので、右辺は $9 + 2 f \cdot (b - a)$ 。これが半径 $3$ の円になる、すなわち右辺が $9$ になる条件は

OF \cdot (b - a) = 0

(2) を代入する。 $a \cdot b - ∣ a ∣^{2} = - 1$ 、 $∣ b ∣^{2} - a \cdot b = 4$ だから

- s (s + 4) + 4 (1 - s) (1 - 2 s) = 0 ⟺ 7 s^{2} - 16 s + 4 = 0 ⟺ s = 2, \frac{2}{7}

(1) の範囲 $0 < s < \frac{1}{2}$ をみたすのは $s = \frac{2}{7}$ のみ。

検算

$s = \frac{2}{7}$ のとき $OF = \frac{4 a + b}{15}$ 。内積は $\frac{4 \cdot 1 + 5 - 4 \cdot 2 - 1}{15} = 0$ で、確かに垂直。

答案で省略しない方がよい点

「半径 $3$ の円になる」は半径の2乗が $9$ ということ。 $4$ や $3$ と直接比べない。
$7 s^{2} - 16 s + 4 = 0$ の解 $s = 2$ は $0 < s < \frac{1}{2}$ の外。範囲で落とす一言を書く。

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第4問　微分積分

4次関数の増減・2点で接する水平線・共有点が2個になる条件・面積の比当サイトの体感難易度：難

(1) $f (x) = x^{4} - x^{2}$ の極値を求める

答極大値 $0$ （ $x = 0$ ）、極小値 $- \frac{1}{4}$ （ $x = \pm \frac{1}{2}$ ）

方針 $f$ は偶関数なので、グラフは $y$ 軸について対称。極小が2つ、極大が1つの「W字」になる。

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 2 x = 2 x (2 x^{2} - 1)

$f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = 0, \pm \frac{1}{2}$ 。符号は $-, +, -, +$ と変わるので、 $x = \pm \frac{1}{2}$ で極小、 $x = 0$ で極大。

f (0) = 0, f (\pm \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

(2)2点で接する水平な直線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $ℓ : y = - \frac{1}{4}$

方針 $f$ が偶関数なので、2つの極小値が等しい。その高さの水平線が、2点で同時に接する直線になる。

$x = \pm \frac{1}{2}$ でともに極小値 $- \frac{1}{4}$ をとるので、 $y = - \frac{1}{4}$ はこの2点で接する。

(3) $\frac{T}{S} > 2$ を示す

答 $m : y = k$ （ $k > 0$ ）に限られ、 $α = \frac{1 + 1 + 4 k}{2} > 1$ として $\frac{T}{S} - 2 = \frac{6 α ^{5} - 5 α ^{3} - 1}{2} \cdot \frac{1}{1} > 0$

方針まず $m$ がどんな直線かを絞る。 $y = k$ と $y = f (x)$ の共有点の個数は、 $u = x^{2}$ の2次方程式の正の解の個数で決まる。共有点がちょうど2個になるのは $k > 0$ のときだけ。

$x^{4} - x^{2} = k$ で $u = x^{2} (\geq 0)$ とおくと $u^{2} - u - k = 0$ 、 $u = \frac{1 \pm 1 + 4 k}{2}$ 。正の解1つにつき $x$ が2個（ $u = 0$ なら1個）出る。

$k > 0$ … 正の解は1つだけ。共有点は2個
$k = 0$ … $u = 0, 1$ で共有点は3個
$- \frac{1}{4} < k < 0$ … 正の解が2つで共有点は4個
$k = - \frac{1}{4}$ … これは $ℓ$ そのもので、 $m \neq = ℓ$ より除く

よって $m : y = k (k > 0)$ 。まず $S$ を求める。(2) の完全平方を使って

S = \int_{- 1/ 2}^{1/ 2} (x^{2} - \frac{1}{2})^{2} d x = 2 (\frac{c ^{5}}{5} - \frac{c ^{3}}{3} + \frac{c}{4})_{c = 1/ 2} = \frac{2 2}{15}

次に $T$ 。共有点の $x$ 座標を $\pm α$ （ $α = u > 1$ ）とすると $k = α^{4} - α^{2}$ で

T = \int_{- α}^{α} (k + x^{2} - x^{4}) d x = \frac{8}{5} α^{5} - \frac{4}{3} α^{3}

したがって

\frac{T}{S} = \frac{\frac{8}{5} α ^{5} - \frac{4}{3} α ^{3}}{\frac{2 2}{15}} = \frac{12 α ^{5} - 10 α ^{3}}{2}

$\frac{T}{S} > 2$ は $12 α^{5} - 10 α^{3} > 2$ 、すなわち

g (α) = 6 α^{5} - 5 α^{3} - 1 > 0

$g (1) = 0$ で、 $g^{'} (α) = 15 α^{2} (2 α^{2} - 1) > 0$ （ $α > 1$ ）だから $g$ は増加。 $k > 0$ より $α > 1$ なので $g (α) > g (1) = 0$ 。よって $\frac{T}{S} > 2$ 。

検算

$k = 1$ では $α = 1.27202 \dots$ 、 $T = 2.58408 \dots$ 、 $S = 0.18856 \dots$ で $\frac{T}{S} = 13.70 \dots > 2$ 。 $k = 0.01$ まで下げると $\frac{T}{S} = 1.4186 \dots$ で、 $2 = 1.41421 \dots$ をわずかに上回る。