第3問 ベクトルの解答・解説

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OE}}=t\vec{b}$ なので

内積を取って与えられた値を代入すると

$0<s<1$ より $5-s>0$。$t>0⟺1-2s>0⟺s<\frac{1}{2}$、$t<1⟺1-2s<5-s⟺s>-4$（つねに成立）。よって $0<s<\frac{1}{2}$。

$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=(1-\alpha )\vec{a}+\alpha t\vec{b}=\beta s\vec{a}+(1-\beta )\vec{b}$ とおく。係数を比べて

$\beta$ を消すと $1-s=\alpha (1-ts)$。(1) の $t$ を入れて

これを戻すと、$\vec{a}$ の係数は

$\vec{b}$ の係数は $\alpha t=\frac{(1-s)(1-2s)}{2s^2-2s+5}$。以上を合わせて答えになる。

$\vec{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}},\vec{f}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}$ とおくと、条件の式は

$\vec{p}$ について平方完成すると

$|\vec{b}-\vec{a}{|}^2=5-2\cdot 1+2=5$ なので、右辺は $9+2\vec{f}\cdot (\vec{b}-\vec{a})$。これが半径 $3$ の円になる、すなわち右辺が $9$ になる条件は

(2) を代入する。$\vec{a}\cdot \vec{b}-|\vec{a}{|}^2=-1$、$|\vec{b}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=4$ だから

(1) の範囲 $0<s<\frac{1}{2}$ をみたすのは $s=\frac{2}{7}$ のみ。