独自の解答・詳解
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全4問・無料

名古屋大学　2021年度　前期日程　理科系

名大理系 2021年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法・積分法

放物線の接線・共通接線・判別式・面積・最大値当サイトの体感難易度：標準

(1) $C_{1} : y = x^{2}$ の点 $(t, t^{2})$ における接線の方程式を求める

答 $y = 2 t x - t^{2}$

微分して傾きを出し、点傾き形に入れるだけ。以降の小問はすべてこの形を使うので、 $- t^{2}$ という定数項まで覚えておく。

$y = x^{2}$ より $y^{'} = 2 x$ なので、 $x = t$ での接線の傾きは $2 t$ である。点 $(t, t^{2})$ を通るから

y - t^{2} = 2 t (x - t)

すなわち

y = 2 t x - t^{2}

である。

$C_{1}$ は上に開いた放物線なので、鉛直な接線はない。つまり $C_{1}$ の接線はすべて $y = 2 t x - t^{2}$ の形で書ける。(2) で「共通接線を全部数える」ときに効いてくる事実である。

$x^{2} - (2 t x - t^{2}) = (x - t)^{2} ≧ 0$ で、等号は $x = t$ だけ。確かに接している。

(2) $C_{1} : y = x^{2}$ と $C_{2} : y = - x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4}$ （ $a > 0$ ）が異なる2本の共通接線をもつような $a$ の範囲を求める

答 $0 < a < \frac{2}{2}$

(1) で $C_{1}$ の接線は $y = 2 t x - t^{2}$ と尽くされている。あとは「この直線が $C_{2}$ にも接する」を判別式 $= 0$ で書き、 $t$ の2次方程式が異なる2解をもつ条件を、もう一度判別式で出す。判別式を2回使う形である。

$C_{1}$ の接線 $y = 2 t x - t^{2}$ が $C_{2}$ にも接する条件を書く。 $C_{2}$ の式と連立して

- x^{2} + 4 a x - 4 a^{2} + 4 a^{4} = 2 t x - t^{2}

すなわち

x^{2} - (4 a - 2 t) x + (4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2}) = 0

である。接するのはこれが重解をもつとき、つまり

(4 a - 2 t)^{2} - 4 (4 a^{2} - 4 a^{4} - t^{2}) = 0

のときである。展開すると

16 a^{2} - 16 a t + 4 t^{2} - 16 a^{2} + 16 a^{4} + 4 t^{2} = 8 t^{2} - 16 a t + 16 a^{4} = 0

で、 $8$ で割って

t^{2} - 2 a t + 2 a^{4} = 0 \dots ①

となる。共通接線は ① の実数解 $t$ と1対1に対応する（ $t$ が違えば接線も違う）。よって共通接線が異なる2本あるのは、① が異なる2つの実数解をもつときである。

① の判別式を $4$ で割ったものは

\frac{D}{4} = a^{2} - 2 a^{4} = a^{2} (1 - 2 a^{2})

で、 $a > 0$ だから $a^{2} > 0$ 、したがって

1 - 2 a^{2} > 0 ⟺ a^{2} < \frac{1}{2}

である。 $a > 0$ とあわせて

0 < a < \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

が答えである。

$a = 0.3$ では ① の解が $t = 0.028338, 0.571662$ の2つで、どちらの接線も $C_{2}$ と重解で交わった。 $a = 0.72 (> \frac{2}{2})$ では実数解がなかった。

「共通接線」は $C_{1}$ の接線でもあり $C_{2}$ の接線でもある直線。 $C_{1}$ の接線をパラメータ $t$ で全部書き出してから $C_{2}$ の条件を課す、という順番にすると漏れがない。

判別式を2回使う。1回目は「 $C_{2}$ に接する」、2回目は「そういう $t$ が2つある」。役割が違うので混ぜない。

(3) $0 < a < \frac{2}{2}$ のとき、2本の共通接線 $ℓ, ℓ^{'}$ の交点の座標を求める

答 $(a, 2 a^{4})$

$y = x^{2}$ の2接線の交点は、接点の $x$ 座標を $t_{1}, t_{2}$ として $(\frac{t _{1} + t _{2}}{2}, t_{1} t_{2})$ になる。解と係数の関係をそのまま使えるので、 $t_{1}, t_{2}$ を根号で書き下す必要がない。

① $t^{2} - 2 a t + 2 a^{4} = 0$ の2解を $t_{1}, t_{2}$ （ $t_{1} < t_{2}$ ）とすると、解と係数の関係から

t_{1} + t_{2} = 2 a, t_{1} t_{2} = 2 a^{4} \dots ②

である。2本の接線

ℓ : y = 2 t_{1} x - t_{1}^{2}, ℓ^{'} : y = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}

を連立すると

2 (t_{1} - t_{2}) x = t_{1}^{2} - t_{2}^{2} = (t_{1} + t_{2}) (t_{1} - t_{2})

で、 $t_{1} \neq = t_{2}$ だから両辺を $t_{1} - t_{2}$ で割って

x = \frac{t _{1} + t _{2}}{2} = a

となる。これを $ℓ$ に代入すると、② を使って

y = 2 t_{1} \cdot \frac{t _{1} + t _{2}}{2} - t_{1}^{2} = t_{1}^{2} + t_{1} t_{2} - t_{1}^{2} = t_{1} t_{2} = 2 a^{4}

である。よって交点は

(a, 2 a^{4})

である。

交点の $x$ 座標が2接点の中点 $\frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ になるのは放物線 $y = x^{2}$ に共通の性質で、(4) で「 $x ≦ a$ 」がちょうど左半分を切り取ることに直結する。問題が $D_{2}$ を $x ≦ a$ で与えているのはこのためである。

$a = 0.4$ で数値計算すると交点は $(0.400000000, 0.051200000)$ で、 $2 a^{4} = 2 \cdot 0.0256 = 0.0512$ と一致した。

(4) $C_{1}$ と $ℓ, ℓ^{'}$ で囲まれた領域 $D_{1}$ と、 $x ≦ a$ の表す領域 $D_{2}$ の共通部分の面積 $S (a)$ を求める

答 $S (a) = \frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{\frac{3}{2}}$

(3) より2接線の交点の $x$ 座標はちょうど $a$ なので、 $D_{1} \cap D_{2}$ は「左半分」、つまり $t_{1} ≦ x ≦ a$ で $C_{1}$ と $ℓ$ に挟まれた部分である。被積分関数が $(x - t_{1})^{2}$ になるので積分は一瞬で終わる。

a = 1/2 のときの C1、C2 と2本の共通接線。2接線の交点の x 座標は a で、網かけが x ≦ a の側に残る面積 S(a)。

$C_{1}$ は下に凸なので、接線 $ℓ, ℓ^{'}$ はどちらも $C_{1}$ の下側にある。よって $D_{1}$ は、上を $C_{1}$ 、下を2本の接線で囲まれた領域で、 $t_{1} ≦ x ≦ t_{2}$ の範囲にある。

(3) より $ℓ$ と $ℓ^{'}$ の交点の $x$ 座標は $a = \frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ なので、 $x ≦ a$ の部分では下側の境界は $ℓ$ だけである。したがって

S (a) = \int_{t_{1}}^{a} {x^{2} - (2 t_{1} x - t_{1}^{2})} d x = \int_{t_{1}}^{a} (x - t_{1})^{2} d x

である。これは

S (a) = [\frac{( x - t _{1} ) ^{3}}{3}]_{t_{1}}^{a} = \frac{( a - t _{1} ) ^{3}}{3}

となる。あとは $a - t_{1}$ を求めればよい。① の解は

t = a \pm a^{2} - 2 a^{4} = a \pm a 1 - 2 a^{2}

（ $a > 0$ なので $a^{2} - 2 a^{4} = a^{2} 1 - 2 a^{2} = a 1 - 2 a^{2}$ ）だから、小さいほうが $t_{1} = a - a 1 - 2 a^{2}$ で

a - t_{1} = a 1 - 2 a^{2}

である。よって

S (a) = \frac{1}{3} (a 1 - 2 a^{2})^{3} = \frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{\frac{3}{2}}

である。

$a = 0.35$ でシンプソン法で数値積分すると $0.0093756914$ 、 $\frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{3/2} = 0.0093756914$ で一致した。

「 $C_{1}$ と2接線で囲まれた図形」の面積を $x ≦ a$ で切ると、下側の境界が $ℓ$ だけになる。 $ℓ^{'}$ は $x > a$ の側の境界なので、この積分には出てこない。

$a^{2} = a$ と書けるのは $a > 0$ だからで、ここを $∣ a ∣$ のまま引きずると最後の形が合わない。

(5) $a$ が (2) の範囲 $0 < a < \frac{2}{2}$ を動くときの $S (a)$ の最大値を求める

答 $\frac{2}{96}$ （ $a = \frac{1}{2}$ のとき）

$S (a) = \frac{1}{3} {a^{2} (1 - 2 a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ 乗の形にまとめてしまえば、中身の $a^{2} (1 - 2 a^{2})$ を最大にすればよい。 $u = a^{2}$ とおけば2次関数で、微分すら要らない。

$a > 0$ と $1 - 2 a^{2} > 0$ に注意して、 $S (a)$ を $\frac{3}{2}$ 乗の形に直す。

S (a) = \frac{1}{3} a^{3} (1 - 2 a^{2})^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} {a^{2} (1 - 2 a^{2})}^{\frac{3}{2}}

$u^{\frac{3}{2}}$ は $u ≧ 0$ で増加するので、 $S (a)$ が最大になるのは $a^{2} (1 - 2 a^{2})$ が最大になるときである。

$u = a^{2}$ とおくと、 $0 < a < \frac{1}{2}$ は $0 < u < \frac{1}{2}$ にあたる。このとき

u (1 - 2 u) = - 2 (u^{2} - \frac{u}{2}) = - 2 (u - \frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{8}

なので、 $u = \frac{1}{4}$ のとき最大値 $\frac{1}{8}$ をとる。 $u = \frac{1}{4}$ は $0 < u < \frac{1}{2}$ の内部にあり、 $a = \frac{1}{2}$ に対応する。

よって $S (a)$ の最大値は

\frac{1}{3} (\frac{1}{8})^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{16 2} = \frac{1}{48 2} = \frac{2}{96}

である。

$a$ を $1 0^{- 6}$ 刻みで動かして $S (a)$ を数えると、最大は $a = 0.500000$ での $0.0147313913$ だった。 $\frac{2}{96} = 0.0147313913$ と一致する。

$a^{3} (1 - 2 a^{2})^{3/2}$ をそのまま微分してもできるが、 $\frac{3}{2}$ 乗の形にまとめると2次関数の平方完成で済む。 $u = a^{2}$ の範囲が $0 < u < \frac{1}{2}$ になることだけ確認する。

$(\frac{1}{8})^{3/2} = \frac{1}{8 8} = \frac{1}{16 2}$ 。 $\frac{1}{8}$ を3乗しない。

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第2問　指数・対数

底の変換・大小比較・解と係数の関係・3次関数の符号当サイトの体感難易度：標準

(1) $α = lo g_{2} 3, β = lo g_{3} 5, γ = lo g_{5} 2$ について $α β γ = 1$ を示す

答底の変換で $α β γ = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1$

底がばらばらなので、まず全部を同じ底にそろえる。そろえれば分子と分母が順に打ち消し合う。

底を $10$ （何でもよい）にそろえると、底の変換公式から

α = \frac{lo g 3}{lo g 2}, β = \frac{lo g 5}{lo g 3}, γ = \frac{lo g 2}{lo g 5}

である（ $lo g 2, lo g 3, lo g 5$ はいずれも $0$ でない）。よって

α β γ = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1

である。 $■$

この $α β γ = 1$ が (3) で効く。 $\frac{1}{α} = β γ$ のように、逆数が残り2つの積に化けるからである。

数値で $α β γ = 1.000000000000$ になった。

(2) $α = lo g_{2} 3, β = lo g_{3} 5, γ = lo g_{5} 2, δ = \frac{3}{2}$ を小さい順に並べる

答 $γ < β < δ < α$

対数の大小は、 $lo g_{a} b$ と有理数 $\frac{q}{p}$ の比較を $b^{p}$ と $a^{q}$ の比較に直すのが基本。 $γ$ だけは $1$ より小さいことがすぐ分かるので先に外し、残り3つを $\frac{3}{2}$ との比較に帰着させる。

$γ$ が最小。 $2 < 5$ より $lo g_{5} 2 < lo g_{5} 5 = 1$ なので

γ < 1

である。一方 $β = lo g_{3} 5 > lo g_{3} 3 = 1$ 、 $α = lo g_{2} 3 > lo g_{2} 2 = 1$ 、 $δ = \frac{3}{2} > 1$ なので、 $γ$ がいちばん小さい。

$β$ と $δ$ 。 $β < \frac{3}{2}$ は $3^{β} < 3^{\frac{3}{2}}$ と同値で、 $3^{β} = 5$ だから

5 < 3^{\frac{3}{2}} ⟺ 5^{2} < 3^{3} ⟺ 25 < 27

である。これは正しいので $β < δ$ である。

$δ$ と $α$ 。 $\frac{3}{2} < α$ は $2^{\frac{3}{2}} < 2^{α} = 3$ と同値で

2^{\frac{3}{2}} < 3 ⟺ 2^{3} < 3^{2} ⟺ 8 < 9

である。これも正しいので $δ < α$ である。

以上をあわせて

γ < β < δ < α

である。

$y = a^{x}$ （ $a > 1$ ）が増加関数であることを使って、対数の不等式を整数の不等式に落としている。 $25 < 27$ と $8 < 9$ という、暗算でできる形まで持っていけるのがこの問題の狙いである。

数値では $γ = 0.430677 < β = 1.464974 < δ = 1.5 < α = 1.584963$ で、並び順が一致した。

$β$ と $α$ を直接比べようとすると $5^{2}$ と $3^{3}$ のような形にならず苦しい。 $δ = \frac{3}{2}$ を仲立ちにする。

両辺を $p$ 乗するときは、両辺が正で $y = x^{p}$ が増加であることを前提にしている。

(3) $p = α + β + γ$ 、 $q = \frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ 、 $f (x) = x^{3} + p x^{2} + q x + 1$ とするとき、 $f (- \frac{1}{2}), f (- 1), f (- \frac{3}{2})$ の正負を判定する

答 $f (- \frac{1}{2}) < 0$ 、 $f (- 1) < 0$ 、 $f (- \frac{3}{2}) > 0$

(1) の $α β γ = 1$ を使うと $q = α β + β γ + γ α$ に直る。すると $f (x)$ は $(x + α) (x + β) (x + γ)$ と因数分解でき、あとは3つの因数の符号を (2) の大小から読むだけになる。値を計算する必要はない。

$q$ を書き直す。 (1) の $α β γ = 1$ から

\frac{1}{α} = β γ, \frac{1}{β} = γ α, \frac{1}{γ} = α β

なので

q = α β + β γ + γ α

である。

$f$ を因数分解する。 基本対称式がそろったので

(x + α) (x + β) (x + γ) = x^{3} + (α + β + γ) x^{2} + (α β + β γ + γ α) x + α β γ

の右辺は、 $α β γ = 1$ とあわせてちょうど $x^{3} + p x^{2} + q x + 1$ である。したがって

f (x) = (x + α) (x + β) (x + γ)

と因数分解できる。 $f$ の実数解は $x = - α, - β, - γ$ の3つで、(2) の $γ < β < δ < α$ を $- 1$ 倍して

- α < - δ < - β < - γ

すなわち $- α < - \frac{3}{2} < - β < - γ$ である。

y = f(x) = (x+α)(x+β)(x+γ) のグラフ。3つの零点は -α, -β, -γ。x = -1 と x = -1/2 は -β と -γ のあいだにあり、グラフは x 軸の下にある。-α と -β のあいだではグラフは x 軸の上にあるが、この縮尺では持ち上がりが見えないので、次の図で拡大する。

-α と -β のあいだを拡大したもの（縦が横の約40倍の縮尺）。x = -3/2 はこの区間にあり、グラフは x 軸より上にある。f(-3/2) の値は 0.0032 ほどしかない。

符号を読む。 3つの因数 $x + α, x + β, x + γ$ の符号を調べる。

$x = - \frac{3}{2}$ のとき。 $- α < - \frac{3}{2} < - β < - γ$ だから $x + α > 0$ 、 $x + β < 0$ 、 $x + γ < 0$ で、負が2つなので積は正である。よって $f (- \frac{3}{2}) > 0$ 。

$x = - 1$ と $x = - \frac{1}{2}$ のとき。まず $γ = lo g_{5} 2 < \frac{1}{2}$ である（ $2 < 5$ 、すなわち $4 < 5$ だから）。また $β = lo g_{3} 5 > 1$ である。したがって

γ < \frac{1}{2} < 1 < β < α

で、 $- 1$ も $- \frac{1}{2}$ も $- β$ と $- γ$ のあいだにある。このとき $x + α > 0$ 、 $x + β > 0$ 、 $x + γ < 0$ で、負が1つだから積は負である。よって

f (- \frac{1}{2}) < 0, f (- 1) < 0, f (- \frac{3}{2}) > 0

である。

$p = 3.480613, q = 3.635464$ として直接計算すると $f (- \frac{1}{2}) = - 0.072578877$ 、 $f (- 1) = - 0.154851463$ 、 $f (- \frac{3}{2}) = + 0.003182239$ で、符号が一致した。

$q$ をそのまま $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ で扱うと因数分解に気づけない。 $α β γ = 1$ を使って基本対称式の形に直すのが (1) の意味である。

定数項が $+ 1 = α β γ$ なので、因数は $(x - α)$ ではなく $(x + α)$ になる。符号を取り違えると零点が逆になる。

$- \frac{1}{2}$ と $- 1$ については (2) の並びだけでは足りず、 $γ < \frac{1}{2}$ と $1 < β$ を別に言う必要がある。

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第3問　確率

推移のある試行・到達確率・漸化的な計算・全事象の確認当サイトの体感難易度：やや難

(1) $1$ から $12$ までを4段（上から順に5個・4個・2個・1個）に左詰めで並べた配置で、石を右隣以降・真下以降の数字へ等確率に移すゲームを行うとき、終了時に $2$ が丸で囲まれている確率 $p_{2}$ を求める

答 $p_{2} = \frac{2}{21}$

「終了時に $j$ が丸で囲まれている」＝「ゲーム中に石が一度でも $j$ に乗る」である（丸は消えない）。移動先はつねに自分より大きい数字なので、同じ数字を2度通ることはなく、 $p_{j}$ は「 $j$ に入ってくる道」をすべて足せば求まる。 $2$ に入れるのは最初に選ぶ場合と $1$ から来る場合だけなので、2項で終わる。

まず移動先を整理する。 配置は、第1段が $1, 2, 3, 4, 5$ 、第2段が $6, 7, 8, 9$ 、第3段が $10, 11$ 、第4段が $12$ を左詰めにしたものである。「同じ段で右にあるもの」と「同じ列で下にあるもの」をすべて書き出すと、次のようになる。

$1 \to {2, 3, 4, 5, 6, 10, 12}$ （7通り）
$2 \to {3, 4, 5, 7, 11}$ （5通り）
$3 \to {4, 5, 8}$ （3通り）
$4 \to {5, 9}$ （2通り）
$6 \to {7, 8, 9, 10, 12}$ （5通り）
$7 \to {8, 9, 11}$ （3通り）
$8 \to {9}$ （1通り）
$10 \to {11, 12}$ （2通り）
$5, 9, 11, 12$ は行き先がない

行き先がないのは $5, 9, 11, 12$ の4つだけで、これはちょうど終了条件の4つと一致する。つまりゲームは「動けなくなるまで動く」のと同じであり、必ず $5, 9, 11, 12$ のどれか1つで終わる。

また、どの移動も数字を真に大きくする。したがって石は同じ数字を2度通らず、 $j$ が丸で囲まれるのは「石が $j$ をちょうど1回通る」ことと同じである。そこで

p_{j} = (石が j を通る確率)

を、 $j$ に入ってくる道で場合分けして足す。

$p_{2}$ を求める。 $2$ に石が乗るのは次の2通りで、互いに排反である。

最初の (a) で $2$ を選ぶ：確率 $\frac{1}{12}$
最初に $1$ を選び、次に $2$ へ移る： $1$ からの行き先は7通りなので $\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{84}$

$2$ に入ってこられるのは「同じ段で左にある」 $1$ だけ（ $2$ は最上段なので真上の数字はない）なので、これで尽きている。よって

p_{2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{84} = \frac{7}{84} + \frac{1}{84} = \frac{8}{84} = \frac{2}{21}

である。

40万回のモンテカルロで $0.09610$ 、 $\frac{2}{21} = 0.095238$ と一致した。

丸は消えないので、 $p_{j}$ は「最後に石がある場所」ではなく「一度でも通ったか」の確率である。終了条件の $5, 9, 11, 12$ 以外についても $p_{j}$ は定義されている。

移動先の個数は数字ごとに違う（ $1$ なら7通り、 $4$ なら2通り）。分母を $12$ のまま使い回さない。

(2)確率 $p_{5}$ と $p_{11}$ を求める

答 $p_{5} = \frac{8}{35}$ 、 $p_{11} = \frac{1}{5}$

移動はつねに数字を大きくするので、 $p_{1}, p_{2}, \dots$ と番号の小さいほうから順に確定していく。 $j$ に入ってくる矢印を全部拾って $p_{i} \times \frac{1}{( i の行き先の個数 )}$ を足すだけで、連立方程式を解く必要はない。

番号の小さい順に計算する。 $i$ から $j$ へ移る確率は $\frac{1}{n _{i}}$ （ $n_{i}$ は $i$ の行き先の個数）で、(1) の表から $n_{1} = 7, n_{2} = 5, n_{3} = 3, n_{4} = 2, n_{6} = 5, n_{7} = 3, n_{8} = 1, n_{10} = 2$ である。

以下、分母を $420$ にそろえて書く（ $\frac{1}{12} = \frac{35}{420}$ ）。

p_{1} = \frac{1}{12} = \frac{35}{420}

$3$ に入れるのは $1, 2$ から。 $4$ に入れるのは $1, 2, 3$ から。いずれも最上段なので真上はない。

p_{2} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} = \frac{35 + 5}{420} = \frac{40}{420}

p_{3} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} + \frac{p _{2}}{5} = \frac{35 + 5 + 8}{420} = \frac{48}{420}

p_{4} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} + \frac{p _{2}}{5} + \frac{p _{3}}{3} = \frac{35 + 5 + 8 + 16}{420} = \frac{64}{420}

$5$ に入れるのは $1, 2, 3, 4$ から（ $5$ の列には $5$ しかないので真上はない）。

p_{5} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} + \frac{p _{2}}{5} + \frac{p _{3}}{3} + \frac{p _{4}}{2} = \frac{35 + 5 + 8 + 16 + 32}{420} = \frac{96}{420} = \frac{8}{35}

$p_{11}$ のほう。 $11$ に入れるのは、同じ段の左の $10$ と、同じ列の上の $2, 7$ である。順に用意する。

p_{6} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} = \frac{40}{420}

p_{7} = \frac{35}{420} + \frac{p _{2}}{5} + \frac{p _{6}}{5} = \frac{35 + 8 + 8}{420} = \frac{51}{420}

p_{10} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} + \frac{p _{6}}{5} = \frac{35 + 5 + 8}{420} = \frac{48}{420}

よって

p_{11} = \frac{35}{420} + \frac{p _{2}}{5} + \frac{p _{7}}{3} + \frac{p _{10}}{2} = \frac{35 + 8 + 17 + 24}{420} = \frac{84}{420} = \frac{1}{5}

である。

モンテカルロで $p_{5} = 0.22837$ （ $\frac{8}{35} = 0.228571$ ）、 $p_{11} = 0.19997$ （ $\frac{1}{5} = 0.2$ ）だった。

$j$ に入ってくる矢印を数え落としやすい。 $j$ の「同じ段で左にあるもの全部」と「同じ列で上にあるもの全部」の2方向を機械的に拾う。

$7$ には $1$ から直接は行けない（ $1$ と $7$ は段も列も違う）。図の位置関係をそのつど確認する。

(3) $p_{5}, p_{9}, p_{11}, p_{12}$ のうち最も大きいものの値を求める

答 $p_{9} = \frac{2}{5}$

残りの $p_{9}, p_{12}$ も同じ手順で出す。4つの和が $1$ になるはずなので、それを検算に使えば計算ミスがそのまま見つかる。

$8$ に入れるのは同じ段の左の $6, 7$ と、同じ列の上の $3$ である。

p_{8} = \frac{35}{420} + \frac{p _{3}}{3} + \frac{p _{6}}{5} + \frac{p _{7}}{3} = \frac{35 + 16 + 8 + 17}{420} = \frac{76}{420}

$9$ に入れるのは同じ段の左の $6, 7, 8$ と、同じ列の上の $4$ である。 $n_{8} = 1$ なので $8$ からは必ず $9$ へ行く。

p_{9} = \frac{35}{420} + \frac{p _{4}}{2} + \frac{p _{6}}{5} + \frac{p _{7}}{3} + p_{8} = \frac{35 + 32 + 8 + 17 + 76}{420} = \frac{168}{420} = \frac{2}{5}

$12$ に入れるのは同じ列の上の $1, 6, 10$ である（第4段には $12$ しかないので左はない）。

p_{12} = \frac{35}{420} + \frac{p _{1}}{7} + \frac{p _{6}}{5} + \frac{p _{10}}{2} = \frac{35 + 5 + 8 + 24}{420} = \frac{72}{420} = \frac{6}{35}

4つを並べると

p_{5} = \frac{96}{420}, p_{9} = \frac{168}{420}, p_{11} = \frac{84}{420}, p_{12} = \frac{72}{420}

で、和は

\frac{96 + 168 + 84 + 72}{420} = \frac{420}{420} = 1

となる。ゲームは必ずこの4つのどれか1つで終わるので、和が $1$ になるのは当然であり、よい検算になっている。最大は

p_{9} = \frac{168}{420} = \frac{2}{5}

である。

$9$ が大きくなるのは、 $9$ に入ってくる矢印が4本あるうえ、 $8$ からは確率 $1$ で $9$ に来るからである。行き止まりの直前にある数字は確率が集まりやすい。

モンテカルロ40万回で $p_{9} = 0.40055$ となり、 $\frac{2}{5} = 0.4$ と一致した。4つの和も分数計算でちょうど $1$ になった。

$p_{8}$ で $6$ からの寄与を忘れやすい。 $6 \to {7, 8, 9, 10, 12}$ に $8$ が入っている。

$p_{5} + p_{9} + p_{11} + p_{12} = 1$ を必ず確かめる。合わなければどこかの矢印を数え落としている。

第3問だけのページ

第4問　数列

ガウス記号・漸化式・軌跡の図示・2項間漸化式の一般項当サイトの体感難易度：やや難

(1) $0 ≦ a < 1$ 、 $a_{1} = a$ 、 $a_{n + 1} = 3 [a_{n} + \frac{1}{2}] - 2 a_{n}$ とするとき、 $a$ が $0 ≦ a < 1$ を動いてできる点 $(x, y) = (a_{1}, a_{2})$ の軌跡を図示する

答 $0 ≦ x < \frac{1}{2}$ の部分が $y = - 2 x$ 、 $\frac{1}{2} ≦ x < 1$ の部分が $y = - 2 x + 3$ の、2本の線分（右端は除く）

$[a + \frac{1}{2}]$ の値が変わるところで場合分けする。 $0 ≦ a < 1$ なら $a + \frac{1}{2}$ は $\frac{1}{2}$ 以上 $\frac{3}{2}$ 未満なので、ガウス記号の値は $0$ か $1$ の2通りしかない。

$x = a_{1} = a$ なので $0 ≦ x < 1$ である。 $a + \frac{1}{2}$ は $\frac{1}{2} ≦ a + \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ を動くから、

$0 ≦ a < \frac{1}{2}$ のとき $\frac{1}{2} ≦ a + \frac{1}{2} < 1$ なので $[a + \frac{1}{2}] = 0$
$\frac{1}{2} ≦ a < 1$ のとき $1 ≦ a + \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ なので $[a + \frac{1}{2}] = 1$

の2通りである。それぞれ $y = a_{2} = 3 [a + \frac{1}{2}] - 2 a$ に入れると

y = ⎩ ⎨ ⎧ - 2 x - 2 x + 3 (0 ≦ x < \frac{1}{2}) (\frac{1}{2} ≦ x < 1)

である。端点は $x = 0$ で $(0, 0)$ 、 $x \to \frac{1}{2}$ で $(\frac{1}{2}, - 1)$ に近づく（含まない）、 $x = \frac{1}{2}$ で $(\frac{1}{2}, 2)$ 、 $x \to 1$ で $(1, 1)$ に近づく（含まない）。

点 (a1, a2) の軌跡。傾き -2 の線分が2本で、左の線分は (0, 0) から (1/2, -1) の手前まで、右の線分は (1/2, 2) から (1, 1) の手前まで。白丸にあたる右端は含まない。

求める軌跡はこの2本の線分（それぞれ右端を除く）である。

$a = 0.3$ なら $a_{2} = - 0.6 = - 2 \cdot 0.3$ 、 $a = 0.8$ なら $a_{2} = 3 - 1.6 = 1.4 = - 2 \cdot 0.8 + 3$ で、式のとおりだった。

$[a + \frac{1}{2}]$ であって $[a] + \frac{1}{2}$ ではない。切り替わるのは $a = \frac{1}{2}$ である。

$a < 1$ は等号なしなので、右端の $(\frac{1}{2}, - 1)$ と $(1, 1)$ は含まない。 $x = \frac{1}{2}$ 自体は右側の線分に入るので、 $(\frac{1}{2}, 2)$ は含む。

(2) $a_{n} - [a_{n}] ≧ \frac{1}{2}$ ならば $a_{n} < a_{n + 1}$ であることを示す

答 $a_{n + 1} - a_{n} = 3 (1 - f) > 0$ （ $f = a_{n} - [a_{n}]$ は小数部分で $f < 1$ ）

$m = [a_{n}]$ 、 $f = a_{n} - m$ とおいて、 $[a_{n} + \frac{1}{2}]$ を $m$ で表す。 $f ≧ \frac{1}{2}$ なら $f + \frac{1}{2} ≧ 1$ なので、ガウス記号の中身が1つ繰り上がる。

$m = [a_{n}]$ 、 $f = a_{n} - m$ とおく。 $m$ は整数で $0 ≦ f < 1$ である。仮定は $f ≧ \frac{1}{2}$ である。

このとき

a_{n} + \frac{1}{2} = m + (f + \frac{1}{2}), 1 ≦ f + \frac{1}{2} < \frac{3}{2}

なので $f + \frac{1}{2}$ の整数部分は $1$ であり

[a_{n} + \frac{1}{2}] = m + 1

である。よって

a_{n + 1} = 3 (m + 1) - 2 a_{n} = 3 m + 3 - 2 (m + f) = m + 3 - 2 f

となり

a_{n + 1} - a_{n} = (m + 3 - 2 f) - (m + f) = 3 - 3 f = 3 (1 - f)

である。 $f < 1$ だから $3 (1 - f) > 0$ 、すなわち $a_{n} < a_{n + 1}$ である。 $■$

$- 50 ≦ x ≦ 50$ の20万点で、小数部分が $\frac{1}{2}$ 以上のときに $a_{n + 1} > a_{n}$ が破れる例はなかった。

ガウス記号は「整数部分 $m$ をくくり出す」と扱いやすい。 $[m + t] = m + [t]$ （ $m$ は整数）を使う。

$f < 1$ は小数部分の定義そのもので、ここだけが不等号を強くする根拠である。

(3) $a_{n} > a_{n + 1}$ ならば $a_{n + 1} = 3 [a_{n}] - 2 a_{n}$ かつ $[a_{n + 1}] = [a_{n}] - 1$ であることを示す

答(2) の対偶から $f < \frac{1}{2}$ 、よって $[a_{n} + \frac{1}{2}] = [a_{n}]$ となり $a_{n + 1} = m - 2 f$ （ $0 < 2 f < 1$ ）

(2) の対偶を使って小数部分を $\frac{1}{2}$ 未満に絞るのが第一歩。そのあとは $a_{n + 1} = m - 2 f$ を $m - 1 < a_{n + 1} < m$ の形に読み替えればガウス記号が確定する。

(2) の対偶より、 $a_{n} > a_{n + 1}$ ならば $f = a_{n} - [a_{n}] < \frac{1}{2}$ である。 $m = [a_{n}]$ とおく。

前半。 $f < \frac{1}{2}$ より

\frac{1}{2} ≦ f + \frac{1}{2} < 1

なので $[a_{n} + \frac{1}{2}] = m = [a_{n}]$ である。したがって

a_{n + 1} = 3 [a_{n} + \frac{1}{2}] - 2 a_{n} = 3 [a_{n}] - 2 a_{n}

である。

後半。 これを $m, f$ で書くと

a_{n + 1} = 3 m - 2 (m + f) = m - 2 f

である。ここで $f = 0$ だと $a_{n + 1} = m = a_{n}$ となって $a_{n} > a_{n + 1}$ に反するので $f > 0$ 、つまり

0 < 2 f < 1

である。よって

m - 1 < a_{n + 1} < m

となり

[a_{n + 1}] = m - 1 = [a_{n}] - 1

である。 $■$

$- 50 ≦ x ≦ 50$ の20万点のうち $a_{n + 1} < a_{n}$ となったものすべてで、 $a_{n + 1} = 3 [a_{n}] - 2 a_{n}$ と $[a_{n + 1}] = [a_{n}] - 1$ が成り立った。

$f = 0$ の場合を落とすと $a_{n + 1} = m$ となり $[a_{n + 1}] = m$ で結論が崩れる。仮定 $a_{n} > a_{n + 1}$ から $f > 0$ を言っておく。

$[a_{n + 1}]$ は $a_{n + 1}$ を整数で挟んで決める。 $m - 1 < a_{n + 1} < m$ まで持っていけば自動的に決まる。

(4)ある $2$ 以上の自然数 $k$ について $a_{1} > a_{2} > \dots > a_{k}$ が成り立つとき、 $a_{k}$ を $a$ の式で表す

答 $a_{k} = \frac{4}{3} - k + \frac{( - 2 ) ^{k}}{6} (1 - 3 a)$

(3) を $n = 1, \dots, k - 1$ に順に使うと $[a_{n}]$ が $0, - 1, - 2, \dots$ と $1$ ずつ下がることが分かる。すると漸化式のガウス記号が消えて $a_{n + 1} = 3 (1 - n) - 2 a_{n}$ という普通の2項間漸化式になる。

$0 ≦ a < 1$ より $[a_{1}] = [a] = 0$ である。仮定より $n = 1, 2, \dots, k - 1$ で $a_{n} > a_{n + 1}$ なので、(3) の後半を繰り返し使って

[a_{n}] = [a_{1}] - (n - 1) = 1 - n (1 ≦ n ≦ k)

である。また (3) の前半より、 $1 ≦ n ≦ k - 1$ で

a_{n + 1} = 3 [a_{n}] - 2 a_{n} = 3 (1 - n) - 2 a_{n}

すなわち

a_{n + 1} + 2 a_{n} = 3 - 3 n \dots ①

である。ガウス記号が消えたので、ふつうの漸化式として解ける。

特殊解を探す。 右辺が $n$ の1次式なので、 $b_{n} = λn + μ$ が ① を満たすとしてみる。代入すると

λ (n + 1) + μ + 2 (λn + μ) = 3 λn + λ + 3 μ

で、これが $- 3 n + 3$ に一致するには $3 λ = - 3$ と $λ + 3 μ = 3$ 、つまり

λ = - 1, μ = \frac{4}{3}

である。そこで $c_{n} = a_{n} - (- n + \frac{4}{3})$ とおくと、① から

c_{n + 1} + 2 c_{n} = 0, すなわち c_{n + 1} = - 2 c_{n}

となる。よって $c_{n} = c_{1} (- 2)^{n - 1}$ である。

初期値。 $a_{1} = a$ より

c_{1} = a - (- 1 + \frac{4}{3}) = a - \frac{1}{3} = - \frac{1 - 3 a}{3}

である。したがって $1 ≦ n ≦ k$ で

a_{n} = \frac{4}{3} - n - \frac{1 - 3 a}{3} (- 2)^{n - 1} = \frac{4}{3} - n + \frac{( - 2 ) ^{n}}{6} (1 - 3 a)

である（ $- \frac{1}{3} (- 2)^{n - 1} = \frac{( - 2 ) ^{n}}{6}$ を使った）。 $n = k$ として

a_{k} = \frac{4}{3} - k + \frac{( - 2 ) ^{k}}{6} (1 - 3 a)

である。

$k = 1$ を入れると $\frac{4}{3} - 1 - \frac{1}{3} (1 - 3 a) = a$ で $a_{1}$ に戻り、 $k = 2$ では $\frac{4}{3} - 2 + \frac{2}{3} (1 - 3 a) = - 2 a$ となって (1) の左側の線分 $y = - 2 x$ と合う。

$a = \frac{3}{10}$ では減少が $\frac{3}{10} > - \frac{3}{5} > - \frac{9}{5} > - \frac{12}{5}$ と4項続き、式に $k = 1, 2, 3, 4$ を入れた値がこの4つと分数のまま完全に一致した。 $a$ を $\frac{1}{1000}$ 刻みで動かしても反例はなかった。

$[a_{n}] = 1 - n$ が言えるのは「減少が続いている $n$ の範囲」だけである。 $a_{k}$ より先では (2) が働いて増加に転じうる。

$c_{n + 1} = - 2 c_{n}$ の公比は $- 2$ で、符号が交互に変わる。 $(- 2)^{n}$ を $2^{n}$ と書かない。

第4問だけのページ

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問題文について

(1)C1​:y=x2 の点 (t,t2) における接線の方程式を求める

(2)C1​:y=x2 と C2​:y=−x2+4ax−4a2+4a4（a>0）が異なる2本の共通接線をもつような a の範囲を求める

(3)0<a<22​​ のとき、2本の共通接線 ℓ,ℓ′ の交点の座標を求める

(4)C1​ と ℓ,ℓ′ で囲まれた領域 D1​ と、x≦a の表す領域 D2​ の共通部分の面積 S(a) を求める

(5)a が (2) の範囲 0<a<22​​ を動くときの S(a) の最大値を求める

(1)α=log2​3, β=log3​5, γ=log5​2 について αβγ=1 を示す

(2)α=log2​3, β=log3​5, γ=log5​2, δ=23​ を小さい順に並べる

(3)p=α+β+γ、q=α1​+β1​+γ1​、f(x)=x3+px2+qx+1 とするとき、f(−21​), f(−1), f(−23​) の正負を判定する

(1)1 から 12 までを4段（上から順に5個・4個・2個・1個）に左詰めで並べた配置で、石を右隣以降・真下以降の数字へ等確率に移すゲームを行うとき、終了時に 2 が丸で囲まれている確率 p2​ を求める

(2)確率 p5​ と p11​ を求める

(3)p5​,p9​,p11​,p12​ のうち最も大きいものの値を求める

(1)0≦a<1、a1​=a、an+1​=3[an​+21​]−2an​ とするとき、a が 0≦a<1 を動いてできる点 (x,y)=(a1​,a2​) の軌跡を図示する

(2)an​−[an​]≧21​ ならば an​<an+1​ であることを示す

(3)an​>an+1​ ならば an+1​=3[an​]−2an​ かつ [an+1​]=[an​]−1 であることを示す

(4)ある 2 以上の自然数 k について a1​>a2​>⋯>ak​ が成り立つとき、ak​ を a の式で表す

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